Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37034 / 28330
↖ ↑ ↗
← N 23.674713°
E 23.433838°		 ← 559.38 m → N 23.674713°
E 23.439331°		 →
↑
559.44 m
↓
↑
559.44 m
↓
N 23.669682°
E 23.433838°		 ← 559.41 m →
312 946 m²		 N 23.669682°
E 23.439331°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565101623535156 y=0.432289123535156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565101623535156 × 216)
    floor (0.565101623535156 × 65536)
    floor (37034.5)     		tx = 37034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432289123535156 × 216)
    floor (0.432289123535156 × 65536)
    floor (28330.5)     		ty = 28330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37034 / 28330 ti = "16/37034/28330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37034/28330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37034 ÷ 216
    37034 ÷ 65536     		x = 0.565093994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28330 ÷ 216
    28330 ÷ 65536     		y = 0.432281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565093994140625 × 2 - 1) × π
    0.13018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40899763
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432281494140625 × 2 - 1) × π
    0.13543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.425487921027618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40899763} λ = 0.40899763}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.425487921027618))-π/2
    2×atan(1.53033692109484)-π/2
    2×0.991999007623374-π/2
    1.98399801524675-1.57079632675     		φ = 0.41320169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40899763} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.433838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41320169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.674713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37034 KachelY 28330 0.40899763 0.41320169 23.433838 23.674713
    Oben rechts KachelX + 1 37035 KachelY 28330 0.40909350 0.41320169 23.439331 23.674713
    Unten links KachelX 37034 KachelY + 1 28331 0.40899763 0.41311388 23.433838 23.669682
    Unten rechts KachelX + 1 37035 KachelY + 1 28331 0.40909350 0.41311388 23.439331 23.669682
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41320169-0.41311388) × R
    8.78100000000215e-05 × 6371000     		dl = 559.437510000137m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41320169-0.41311388) × R
    8.78100000000215e-05 × 6371000     		dr = 559.437510000137m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40899763-0.40909350) × cos(0.41320169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915839900881982 × 6371000     		do = 559.383810736715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40899763-0.40909350) × cos(0.41311388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915875156896066 × 6371000     		du = 559.405344678936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41320169)-sin(0.41311388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915839900881982-0.915875156896066)×R²
    abs(0.40909350-0.40899763)×3.52560140838287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52560140838287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52560140838287e-05×40589641000000     		ar = 312946.309861647m²