Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37033 / 30390
↖ ↑ ↗
← N 12.951029°
E 23.428345°		 ← 595.31 m → N 12.951029°
E 23.433838°		 →
↑
595.24 m
↓
↑
595.24 m
↓
N 12.945676°
E 23.428345°		 ← 595.33 m →
354 359 m²		 N 12.945676°
E 23.433838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565086364746094 y=0.463722229003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565086364746094 × 216)
    floor (0.565086364746094 × 65536)
    floor (37033.5)     		tx = 37033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463722229003906 × 216)
    floor (0.463722229003906 × 65536)
    floor (30390.5)     		ty = 30390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37033 / 30390 ti = "16/37033/30390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37033/30390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37033 ÷ 216
    37033 ÷ 65536     		x = 0.565078735351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30390 ÷ 216
    30390 ÷ 65536     		y = 0.463714599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565078735351562 × 2 - 1) × π
    0.130157470703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40890175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463714599609375 × 2 - 1) × π
    0.07257080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.227987894592987
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40890175} λ = 0.40890175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227987894592987))-π/2
    2×atan(1.25607012010027)-π/2
    2×0.898417214065023-π/2
    1.79683442813005-1.57079632675     		φ = 0.22603810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40890175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.428345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22603810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.951029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37033 KachelY 30390 0.40890175 0.22603810 23.428345 12.951029
    Oben rechts KachelX + 1 37034 KachelY 30390 0.40899763 0.22603810 23.433838 12.951029
    Unten links KachelX 37033 KachelY + 1 30391 0.40890175 0.22594467 23.428345 12.945676
    Unten rechts KachelX + 1 37034 KachelY + 1 30391 0.40899763 0.22594467 23.433838 12.945676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22603810-0.22594467) × R
    9.34300000000055e-05 × 6371000     		dl = 595.242530000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22603810-0.22594467) × R
    9.34300000000055e-05 × 6371000     		dr = 595.242530000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40890175-0.40899763) × cos(0.22603810) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974561975151841 × 6371000     		do = 595.312624873179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40890175-0.40899763) × cos(0.22594467) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974582910259391 × 6371000     		du = 595.32541311461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22603810)-sin(0.22594467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974561975151841-0.974582910259391)×R²
    abs(0.40899763-0.40890175)×2.09351075500797e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.09351075500797e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.09351075500797e-05×40589641000000     		ar = 354359.199280774m²