Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37032 / 30438
↖ ↑ ↗
← N 12.693933°
E 23.422852°		 ← 595.86 m → N 12.693933°
E 23.428345°		 →
↑
595.88 m
↓
↑
595.88 m
↓
N 12.688574°
E 23.422852°		 ← 595.87 m →
355 064 m²		 N 12.688574°
E 23.428345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565071105957031 y=0.464454650878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565071105957031 × 216)
    floor (0.565071105957031 × 65536)
    floor (37032.5)     		tx = 37032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464454650878906 × 216)
    floor (0.464454650878906 × 65536)
    floor (30438.5)     		ty = 30438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37032 / 30438 ti = "16/37032/30438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37032/30438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37032 ÷ 216
    37032 ÷ 65536     		x = 0.5650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30438 ÷ 216
    30438 ÷ 65536     		y = 0.464447021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5650634765625 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464447021484375 × 2 - 1) × π
    0.07110595703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.223385952229462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40880588} λ = 0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223385952229462))-π/2
    2×atan(1.25030303787091)-π/2
    2×0.896173625773313-π/2
    1.79234725154663-1.57079632675     		φ = 0.22155092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22155092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.693933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37032 KachelY 30438 0.40880588 0.22155092 23.422852 12.693933
    Oben rechts KachelX + 1 37033 KachelY 30438 0.40890175 0.22155092 23.428345 12.693933
    Unten links KachelX 37032 KachelY + 1 30439 0.40880588 0.22145739 23.422852 12.688574
    Unten rechts KachelX + 1 37033 KachelY + 1 30439 0.40890175 0.22145739 23.428345 12.688574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22155092-0.22145739) × R
    9.35300000000083e-05 × 6371000     		dl = 595.879630000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22155092-0.22145739) × R
    9.35300000000083e-05 × 6371000     		dr = 595.879630000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40880588-0.40890175) × cos(0.22155092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975557819090643 × 6371000     		do = 595.858784828424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40880588-0.40890175) × cos(0.22145739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975578367376924 × 6371000     		du = 595.871335470379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22155092)-sin(0.22145739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975557819090643-0.975578367376924)×R²
    abs(0.40890175-0.40880588)×2.05482862808415e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05482862808415e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05482862808415e-05×40589641000000     		ar = 355063.851830577m²