Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37032 / 26680
↖ ↑ ↗
← N 31.690782°
E 23.422852°		 ← 519.72 m → N 31.690782°
E 23.428345°		 →
↑
519.81 m
↓
↑
519.81 m
↓
N 31.686107°
E 23.422852°		 ← 519.74 m →
270 161 m²		 N 31.686107°
E 23.428345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565071105957031 y=0.407112121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565071105957031 × 216)
    floor (0.565071105957031 × 65536)
    floor (37032.5)     		tx = 37032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.407112121582031 × 216)
    floor (0.407112121582031 × 65536)
    floor (26680.5)     		ty = 26680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37032 / 26680 ti = "16/37032/26680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37032/26680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37032 ÷ 216
    37032 ÷ 65536     		x = 0.5650634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26680 ÷ 216
    26680 ÷ 65536     		y = 0.4071044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5650634765625 × 2 - 1) × π
    0.130126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40880588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4071044921875 × 2 - 1) × π
    0.185791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.583679689773804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40880588} λ = 0.40880588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.583679689773804))-π/2
    2×atan(1.79262260452858)-π/2
    2×1.06195240591445-π/2
    2.1239048118289-1.57079632675     		φ = 0.55310849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40880588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.422852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55310849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.690782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37032 KachelY 26680 0.40880588 0.55310849 23.422852 31.690782
    Oben rechts KachelX + 1 37033 KachelY 26680 0.40890175 0.55310849 23.428345 31.690782
    Unten links KachelX 37032 KachelY + 1 26681 0.40880588 0.55302690 23.422852 31.686107
    Unten rechts KachelX + 1 37033 KachelY + 1 26681 0.40890175 0.55302690 23.428345 31.686107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55310849-0.55302690) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dl = 519.809889999775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55310849-0.55302690) × R
    8.15899999999647e-05 × 6371000     		dr = 519.809889999775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40880588-0.40890175) × cos(0.55310849) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850895637806526 × 6371000     		do = 519.716649118565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40880588-0.40890175) × cos(0.55302690) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.850938497037643 × 6371000     		du = 519.742827012762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55310849)-sin(0.55302690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850895637806526-0.850938497037643)×R²
    abs(0.40890175-0.40880588)×4.28592311169096e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.28592311169096e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.28592311169096e-05×40589641000000     		ar = 270160.658123752m²