Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37030 / 30360
↖ ↑ ↗
← N 13.111580°
E 23.411865°		 ← 594.93 m → N 13.111580°
E 23.417359°		 →
↑
594.86 m
↓
↑
594.86 m
↓
N 13.106230°
E 23.411865°		 ← 594.94 m →
353 902 m²		 N 13.106230°
E 23.417359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565040588378906 y=0.463264465332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565040588378906 × 216)
    floor (0.565040588378906 × 65536)
    floor (37030.5)     		tx = 37030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463264465332031 × 216)
    floor (0.463264465332031 × 65536)
    floor (30360.5)     		ty = 30360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37030 / 30360 ti = "16/37030/30360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37030/30360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37030 ÷ 216
    37030 ÷ 65536     		x = 0.565032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30360 ÷ 216
    30360 ÷ 65536     		y = 0.4632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565032958984375 × 2 - 1) × π
    0.13006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40861413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4632568359375 × 2 - 1) × π
    0.073486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.23086410857019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40861413} λ = 0.40861413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.23086410857019))-π/2
    2×atan(1.25968804700788)-π/2
    2×0.899818284995494-π/2
    1.79963656999099-1.57079632675     		φ = 0.22884024
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40861413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.411865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22884024 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.111580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37030 KachelY 30360 0.40861413 0.22884024 23.411865 13.111580
    Oben rechts KachelX + 1 37031 KachelY 30360 0.40871001 0.22884024 23.417359 13.111580
    Unten links KachelX 37030 KachelY + 1 30361 0.40861413 0.22874687 23.411865 13.106230
    Unten rechts KachelX + 1 37031 KachelY + 1 30361 0.40871001 0.22874687 23.417359 13.106230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22884024-0.22874687) × R
    9.33700000000093e-05 × 6371000     		dl = 594.860270000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22884024-0.22874687) × R
    9.33700000000093e-05 × 6371000     		dr = 594.860270000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40861413-0.40871001) × cos(0.22884024) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.973930139347162 × 6371000     		do = 594.926667036774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40861413-0.40871001) × cos(0.22874687) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.973951315913662 × 6371000     		du = 594.939602773762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22884024)-sin(0.22874687))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973930139347162-0.973951315913662)×R²
    abs(0.40871001-0.40861413)×2.11765664998032e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.11765664998032e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.11765664998032e-05×40589641000000     		ar = 353902.085518892m²