Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37030 / 30358
↖ ↑ ↗
← N 13.122280°
E 23.411865°		 ← 594.90 m → N 13.122280°
E 23.417359°		 →
↑
594.86 m
↓
↑
594.86 m
↓
N 13.116930°
E 23.411865°		 ← 594.91 m →
353 887 m²		 N 13.116930°
E 23.417359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565040588378906 y=0.463233947753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565040588378906 × 216)
    floor (0.565040588378906 × 65536)
    floor (37030.5)     		tx = 37030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463233947753906 × 216)
    floor (0.463233947753906 × 65536)
    floor (30358.5)     		ty = 30358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37030 / 30358 ti = "16/37030/30358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37030/30358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37030 ÷ 216
    37030 ÷ 65536     		x = 0.565032958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30358 ÷ 216
    30358 ÷ 65536     		y = 0.463226318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565032958984375 × 2 - 1) × π
    0.13006591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40861413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463226318359375 × 2 - 1) × π
    0.07354736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.231055856168671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40861413} λ = 0.40861413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.231055856168671))-π/2
    2×atan(1.25992961232477)-π/2
    2×0.899911657346785-π/2
    1.79982331469357-1.57079632675     		φ = 0.22902699
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40861413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.411865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22902699 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.122280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37030 KachelY 30358 0.40861413 0.22902699 23.411865 13.122280
    Oben rechts KachelX + 1 37031 KachelY 30358 0.40871001 0.22902699 23.417359 13.122280
    Unten links KachelX 37030 KachelY + 1 30359 0.40861413 0.22893362 23.411865 13.116930
    Unten rechts KachelX + 1 37031 KachelY + 1 30359 0.40871001 0.22893362 23.417359 13.116930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22902699-0.22893362) × R
    9.33700000000093e-05 × 6371000     		dl = 594.860270000059m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22902699-0.22893362) × R
    9.33700000000093e-05 × 6371000     		dr = 594.860270000059m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40861413-0.40871001) × cos(0.22902699) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.973887758472004 × 6371000     		do = 594.900778616461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40861413-0.40871001) × cos(0.22893362) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.97390895202059 × 6371000     		du = 594.913724726981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22902699)-sin(0.22893362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973887758472004-0.97390895202059)×R²
    abs(0.40871001-0.40861413)×2.11935485863179e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.11935485863179e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.11935485863179e-05×40589641000000     		ar = 353886.688611497m²