Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3703 / 2422
↖ ↑ ↗
← N 59.040555°
W 17.270508°		 ← 2 513.76 m → N 59.040555°
W 17.226562°		 →
↑
2 514.57 m
↓
↑
2 514.57 m
↓
N 59.017941°
W 17.270508°		 ← 2 515.42 m →
6 323 117 m²		 N 59.017941°
W 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45208740234375 y=0.29571533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45208740234375 × 213)
    floor (0.45208740234375 × 8192)
    floor (3703.5)     		tx = 3703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29571533203125 × 213)
    floor (0.29571533203125 × 8192)
    floor (2422.5)     		ty = 2422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3703 / 2422 ti = "13/3703/2422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3703/2422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3703 ÷ 213
    3703 ÷ 8192     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2422 ÷ 213
    2422 ÷ 8192     		y = 0.295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295654296875 × 2 - 1) × π
    0.40869140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.28394191942358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28394191942358))-π/2
    2×atan(3.61084536992103)-π/2
    2×1.300624198521-π/2
    2.60124839704199-1.57079632675     		φ = 1.03045207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03045207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.040555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3703 KachelY 2422 -0.30142722 1.03045207 -17.270508 59.040555
    Oben rechts KachelX + 1 3704 KachelY 2422 -0.30066023 1.03045207 -17.226562 59.040555
    Unten links KachelX 3703 KachelY + 1 2423 -0.30142722 1.03005738 -17.270508 59.017941
    Unten rechts KachelX + 1 3704 KachelY + 1 2423 -0.30066023 1.03005738 -17.226562 59.017941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03045207-1.03005738) × R
    0.000394690000000031 × 6371000     		dl = 2514.5699900002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03045207-1.03005738) × R
    0.000394690000000031 × 6371000     		dr = 2514.5699900002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30066023) × cos(1.03045207) × R
    0.000766990000000023 × 0.51443123322305 × 6371000     		do = 2513.76476931093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30066023) × cos(1.03005738) × R
    0.000766990000000023 × 0.514769652306471 × 6371000     		du = 2515.41845189128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03045207)-sin(1.03005738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51443123322305-0.514769652306471)×R²
    abs(-0.30066023--0.30142722)×0.000338419083421693×R²
    0.000766990000000023×0.000338419083421693×6371000²
    0.000766990000000023×0.000338419083421693×40589641000000     		ar = 6323116.68320892m²