Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3703 / 2420
↖ ↑ ↗
← N 59.085739°
W 17.270508°		 ← 2 510.46 m → N 59.085739°
W 17.226562°		 →
↑
2 511.32 m
↓
↑
2 511.32 m
↓
N 59.063154°
W 17.270508°		 ← 2 512.11 m →
6 306 644 m²		 N 59.063154°
W 17.226562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45208740234375 y=0.29547119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45208740234375 × 213)
    floor (0.45208740234375 × 8192)
    floor (3703.5)     		tx = 3703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29547119140625 × 213)
    floor (0.29547119140625 × 8192)
    floor (2420.5)     		ty = 2420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3703 / 2420 ti = "13/3703/2420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3703/2420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3703 ÷ 213
    3703 ÷ 8192     		x = 0.4520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2420 ÷ 213
    2420 ÷ 8192     		y = 0.29541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30142722
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29541015625 × 2 - 1) × π
    0.4091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.28547590021143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30142722} λ = -0.30142722}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28547590021143))-π/2
    2×atan(3.61638858785429)-π/2
    2×1.30101850289599-π/2
    2.60203700579198-1.57079632675     		φ = 1.03124068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30142722} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.270508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03124068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.085739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3703 KachelY 2420 -0.30142722 1.03124068 -17.270508 59.085739
    Oben rechts KachelX + 1 3704 KachelY 2420 -0.30066023 1.03124068 -17.226562 59.085739
    Unten links KachelX 3703 KachelY + 1 2421 -0.30142722 1.03084650 -17.270508 59.063154
    Unten rechts KachelX + 1 3704 KachelY + 1 2421 -0.30066023 1.03084650 -17.226562 59.063154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03124068-1.03084650) × R
    0.000394180000000022 × 6371000     		dl = 2511.32078000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03124068-1.03084650) × R
    0.000394180000000022 × 6371000     		dr = 2511.32078000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30142722--0.30066023) × cos(1.03124068) × R
    0.000766990000000023 × 0.51375481530603 × 6371000     		do = 2510.45945769818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30142722--0.30066023) × cos(1.03084650) × R
    0.000766990000000023 × 0.514092957012412 × 6371000     		du = 2512.11178487748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03124068)-sin(1.03084650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.51375481530603-0.514092957012412)×R²
    abs(-0.30066023--0.30142722)×0.000338141706381689×R²
    0.000766990000000023×0.000338141706381689×6371000²
    0.000766990000000023×0.000338141706381689×40589641000000     		ar = 6306643.84691347m²