Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37029 / 27461
↖ ↑ ↗
← N 27.970147°
E 23.406372°		 ← 539.44 m → N 27.970147°
E 23.411865°		 →
↑
539.50 m
↓
↑
539.50 m
↓
N 27.965295°
E 23.406372°		 ← 539.47 m →
291 034 m²		 N 27.965295°
E 23.411865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565025329589844 y=0.419029235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565025329589844 × 216)
    floor (0.565025329589844 × 65536)
    floor (37029.5)     		tx = 37029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.419029235839844 × 216)
    floor (0.419029235839844 × 65536)
    floor (27461.5)     		ty = 27461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37029 / 27461 ti = "16/37029/27461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37029/27461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37029 ÷ 216
    37029 ÷ 65536     		x = 0.565017700195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27461 ÷ 216
    27461 ÷ 65536     		y = 0.419021606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.565017700195312 × 2 - 1) × π
    0.130035400390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40851826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.419021606445312 × 2 - 1) × π
    0.161956787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.508802252567276
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40851826} λ = 0.40851826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.508802252567276))-π/2
    2×atan(1.66329779072811)-π/2
    2×1.02948373811411-π/2
    2.05896747622823-1.57079632675     		φ = 0.48817115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40851826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.406372°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48817115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.970147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37029 KachelY 27461 0.40851826 0.48817115 23.406372 27.970147
    Oben rechts KachelX + 1 37030 KachelY 27461 0.40861413 0.48817115 23.411865 27.970147
    Unten links KachelX 37029 KachelY + 1 27462 0.40851826 0.48808647 23.406372 27.965295
    Unten rechts KachelX + 1 37030 KachelY + 1 27462 0.40861413 0.48808647 23.411865 27.965295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48817115-0.48808647) × R
    8.46800000000036e-05 × 6371000     		dl = 539.496280000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48817115-0.48808647) × R
    8.46800000000036e-05 × 6371000     		dr = 539.496280000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40851826-0.40861413) × cos(0.48817115) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883192086720347 × 6371000     		do = 539.442925129556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40851826-0.40861413) × cos(0.48808647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.883231799443126 × 6371000     		du = 539.467181174943m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48817115)-sin(0.48808647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883192086720347-0.883231799443126)×R²
    abs(0.40861413-0.40851826)×3.97127227792504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.97127227792504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.97127227792504e-05×40589641000000     		ar = 291033.99457669m²