Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37028 / 45266
↖ ↑ ↗
← S 56.419979°
E 23.400879°		 ← 337.86 m → S 56.419979°
E 23.406372°		 →
↑
337.79 m
↓
↑
337.79 m
↓
S 56.423016°
E 23.400879°		 ← 337.84 m →
114 122 m²		 S 56.423016°
E 23.406372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565010070800781 y=0.690711975097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565010070800781 × 216)
    floor (0.565010070800781 × 65536)
    floor (37028.5)     		tx = 37028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690711975097656 × 216)
    floor (0.690711975097656 × 65536)
    floor (45266.5)     		ty = 45266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37028 / 45266 ti = "16/37028/45266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37028/45266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37028 ÷ 216
    37028 ÷ 65536     		x = 0.56500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45266 ÷ 216
    45266 ÷ 65536     		y = 0.690704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56500244140625 × 2 - 1) × π
    0.1300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40842238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.38140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19823074290292
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40842238} λ = 0.40842238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19823074290292))-π/2
    2×atan(0.301727573597069)-π/2
    2×0.293040969815521-π/2
    0.586081939631042-1.57079632675     		φ = -0.98471439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40842238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.400879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98471439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.419979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37028 KachelY 45266 0.40842238 -0.98471439 23.400879 -56.419979
    Oben rechts KachelX + 1 37029 KachelY 45266 0.40851826 -0.98471439 23.406372 -56.419979
    Unten links KachelX 37028 KachelY + 1 45267 0.40842238 -0.98476741 23.400879 -56.423016
    Unten rechts KachelX + 1 37029 KachelY + 1 45267 0.40851826 -0.98476741 23.406372 -56.423016
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98471439--0.98476741) × R
    5.30199999999592e-05 × 6371000     		dl = 337.79041999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98471439--0.98476741) × R
    5.30199999999592e-05 × 6371000     		dr = 337.79041999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40842238-0.40851826) × cos(-0.98471439) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.553101082737575 × 6371000     		do = 337.86261498002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40842238-0.40851826) × cos(-0.98476741) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.553056910247776 × 6371000     		du = 337.835632149251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98471439)-sin(-0.98476741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553101082737575-0.553056910247776)×R²
    abs(0.40851826-0.40842238)×4.41724897991547e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.41724897991547e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.41724897991547e-05×40589641000000     		ar = 114122.197372037m²