Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37028 / 30392
↖ ↑ ↗
← N 12.940322°
E 23.400879°		 ← 595.34 m → N 12.940322°
E 23.406372°		 →
↑
595.31 m
↓
↑
595.31 m
↓
N 12.934969°
E 23.400879°		 ← 595.35 m →
354 412 m²		 N 12.934969°
E 23.406372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.565010070800781 y=0.463752746582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.565010070800781 × 216)
    floor (0.565010070800781 × 65536)
    floor (37028.5)     		tx = 37028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463752746582031 × 216)
    floor (0.463752746582031 × 65536)
    floor (30392.5)     		ty = 30392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37028 / 30392 ti = "16/37028/30392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37028/30392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37028 ÷ 216
    37028 ÷ 65536     		x = 0.56500244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30392 ÷ 216
    30392 ÷ 65536     		y = 0.4637451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56500244140625 × 2 - 1) × π
    0.1300048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40842238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4637451171875 × 2 - 1) × π
    0.072509765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.227796146994507
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40842238} λ = 0.40842238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.227796146994507))-π/2
    2×atan(1.2558292947608)-π/2
    2×0.898323777098772-π/2
    1.79664755419754-1.57079632675     		φ = 0.22585123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40842238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.400879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22585123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.940322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37028 KachelY 30392 0.40842238 0.22585123 23.400879 12.940322
    Oben rechts KachelX + 1 37029 KachelY 30392 0.40851826 0.22585123 23.406372 12.940322
    Unten links KachelX 37028 KachelY + 1 30393 0.40842238 0.22575779 23.400879 12.934969
    Unten rechts KachelX + 1 37029 KachelY + 1 30393 0.40851826 0.22575779 23.406372 12.934969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22585123-0.22575779) × R
    9.34399999999724e-05 × 6371000     		dl = 595.306239999824m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22585123-0.22575779) × R
    9.34399999999724e-05 × 6371000     		dr = 595.306239999824m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40842238-0.40851826) × cos(0.22585123) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.974603839099006 × 6371000     		do = 595.338197527609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40842238-0.40851826) × cos(0.22575779) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.974624759429323 × 6371000     		du = 595.350976742345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22585123)-sin(0.22575779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974603839099006-0.974624759429323)×R²
    abs(0.40851826-0.40842238)×2.09203303169758e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.09203303169758e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.09203303169758e-05×40589641000000     		ar = 354412.347929465m²