Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37025 / 45154
↖ ↑ ↗
← S 56.078167°
E 23.384399°		 ← 340.89 m → S 56.078167°
E 23.389893°		 →
↑
340.85 m
↓
↑
340.85 m
↓
S 56.081232°
E 23.384399°		 ← 340.87 m →
116 188 m²		 S 56.081232°
E 23.389893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564964294433594 y=0.689002990722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564964294433594 × 216)
    floor (0.564964294433594 × 65536)
    floor (37025.5)     		tx = 37025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689002990722656 × 216)
    floor (0.689002990722656 × 65536)
    floor (45154.5)     		ty = 45154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37025 / 45154 ti = "16/37025/45154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37025/45154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37025 ÷ 216
    37025 ÷ 65536     		x = 0.564956665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45154 ÷ 216
    45154 ÷ 65536     		y = 0.688995361328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564956665039062 × 2 - 1) × π
    0.129913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40813476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688995361328125 × 2 - 1) × π
    -0.37799072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.18749287738803
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40813476} λ = 0.40813476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18749287738803))-π/2
    2×atan(0.304984940992714)-π/2
    2×0.29602383704935-π/2
    0.592047674098701-1.57079632675     		φ = -0.97874865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40813476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.384399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97874865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.078167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37025 KachelY 45154 0.40813476 -0.97874865 23.384399 -56.078167
    Oben rechts KachelX + 1 37026 KachelY 45154 0.40823064 -0.97874865 23.389893 -56.078167
    Unten links KachelX 37025 KachelY + 1 45155 0.40813476 -0.97880215 23.384399 -56.081232
    Unten rechts KachelX + 1 37026 KachelY + 1 45155 0.40823064 -0.97880215 23.389893 -56.081232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97874865--0.97880215) × R
    5.35000000000396e-05 × 6371000     		dl = 340.848500000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97874865--0.97880215) × R
    5.35000000000396e-05 × 6371000     		dr = 340.848500000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40813476-0.40823064) × cos(-0.97874865) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.558061353265271 × 6371000     		do = 340.892603572867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40813476-0.40823064) × cos(-0.97880215) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.558016958183206 × 6371000     		du = 340.865484771283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97874865)-sin(-0.97880215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558061353265271-0.558016958183206)×R²
    abs(0.40823064-0.40813476)×4.43950820644412e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43950820644412e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43950820644412e-05×40589641000000     		ar = 116188.110915472m²