Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37025 / 30434
↖ ↑ ↗
← N 12.715368°
E 23.384399°		 ← 595.87 m → N 12.715368°
E 23.389893°		 →
↑
595.82 m
↓
↑
595.82 m
↓
N 12.710009°
E 23.384399°		 ← 595.88 m →
355 033 m²		 N 12.710009°
E 23.389893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564964294433594 y=0.464393615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564964294433594 × 216)
    floor (0.564964294433594 × 65536)
    floor (37025.5)     		tx = 37025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464393615722656 × 216)
    floor (0.464393615722656 × 65536)
    floor (30434.5)     		ty = 30434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37025 / 30434 ti = "16/37025/30434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37025/30434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37025 ÷ 216
    37025 ÷ 65536     		x = 0.564956665039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30434 ÷ 216
    30434 ÷ 65536     		y = 0.464385986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564956665039062 × 2 - 1) × π
    0.129913330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40813476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464385986328125 × 2 - 1) × π
    0.07122802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.223769447426422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40813476} λ = 0.40813476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223769447426422))-π/2
    2×atan(1.25078261503257)-π/2
    2×0.896360678756118-π/2
    1.79272135751224-1.57079632675     		φ = 0.22192503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40813476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.384399°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22192503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.715368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37025 KachelY 30434 0.40813476 0.22192503 23.384399 12.715368
    Oben rechts KachelX + 1 37026 KachelY 30434 0.40823064 0.22192503 23.389893 12.715368
    Unten links KachelX 37025 KachelY + 1 30435 0.40813476 0.22183151 23.384399 12.710009
    Unten rechts KachelX + 1 37026 KachelY + 1 30435 0.40823064 0.22183151 23.389893 12.710009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22192503-0.22183151) × R
    9.35199999999858e-05 × 6371000     		dl = 595.81591999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22192503-0.22183151) × R
    9.35199999999858e-05 × 6371000     		dr = 595.81591999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40813476-0.40823064) × cos(0.22192503) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.975475542807956 × 6371000     		do = 595.870679027997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40813476-0.40823064) × cos(0.22183151) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.975496123028255 × 6371000     		du = 595.883250486026m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22192503)-sin(0.22183151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975475542807956-0.975496123028255)×R²
    abs(0.40823064-0.40813476)×2.05802202994931e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.05802202994931e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.05802202994931e-05×40589641000000     		ar = 355032.982222263m²