Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37025 / 28833
↖ ↑ ↗
← N 70.465289°
W 78.307801°		 ← 102.13 m → N 70.465289°
W 78.305054°		 →
↑
102.13 m
↓
↑
102.13 m
↓
N 70.464370°
W 78.307801°		 ← 102.13 m →
10 430 m²		 N 70.464370°
W 78.305054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282482147216797 y=0.219982147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282482147216797 × 217)
    floor (0.282482147216797 × 131072)
    floor (37025.5)     		tx = 37025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219982147216797 × 217)
    floor (0.219982147216797 × 131072)
    floor (28833.5)     		ty = 28833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37025 / 28833 ti = "17/37025/28833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37025/28833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37025 ÷ 217
    37025 ÷ 131072     		x = 0.282478332519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28833 ÷ 217
    28833 ÷ 131072     		y = 0.219978332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282478332519531 × 2 - 1) × π
    -0.435043334960938 × 3.1415926535     		Λ = -1.36672895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219978332519531 × 2 - 1) × π
    0.560043334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.75942802675492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36672895} λ = -1.36672895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75942802675492))-π/2
    2×atan(5.80911378632235)-π/2
    2×1.4003238145068-π/2
    2.80064762901359-1.57079632675     		φ = 1.22985130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36672895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.307801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22985130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.465289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37025 KachelY 28833 -1.36672895 1.22985130 -78.307801 70.465289
    Oben rechts KachelX + 1 37026 KachelY 28833 -1.36668101 1.22985130 -78.305054 70.465289
    Unten links KachelX 37025 KachelY + 1 28834 -1.36672895 1.22983527 -78.307801 70.464370
    Unten rechts KachelX + 1 37026 KachelY + 1 28834 -1.36668101 1.22983527 -78.305054 70.464370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22985130-1.22983527) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dl = 102.127130000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22985130-1.22983527) × R
    1.60300000000557e-05 × 6371000     		dr = 102.127130000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36672895--1.36668101) × cos(1.22985130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.334377871513553 × 6371000     		do = 102.127608846585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36672895--1.36668101) × cos(1.22983527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.33439297876921 × 6371000     		du = 102.132222991323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22985130)-sin(1.22983527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334377871513553-0.33439297876921)×R²
    abs(-1.36668101--1.36672895)×1.51072556568987e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51072556568987e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51072556568987e-05×40589641000000     		ar = 10430.2352002381m²