Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37024 / 45152
↖ ↑ ↗
← S 56.072036°
E 23.378906°		 ← 340.91 m → S 56.072036°
E 23.384399°		 →
↑
340.91 m
↓
↑
340.91 m
↓
S 56.075102°
E 23.378906°		 ← 340.88 m →
116 216 m²		 S 56.075102°
E 23.384399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45152 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564949035644531 y=0.688972473144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564949035644531 × 216)
    floor (0.564949035644531 × 65536)
    floor (37024.5)     		tx = 37024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688972473144531 × 216)
    floor (0.688972473144531 × 65536)
    floor (45152.5)     		ty = 45152
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37024 / 45152 ti = "16/37024/45152"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37024/45152.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37024 ÷ 216
    37024 ÷ 65536     		x = 0.56494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45152 ÷ 216
    45152 ÷ 65536     		y = 0.68896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56494140625 × 2 - 1) × π
    0.1298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40803889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68896484375 × 2 - 1) × π
    -0.3779296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18730112978955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40803889} λ = 0.40803889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18730112978955))-π/2
    2×atan(0.305043426729793)-π/2
    2×0.29607734476793-π/2
    0.59215468953586-1.57079632675     		φ = -0.97864164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40803889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.378906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97864164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.072036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37024 KachelY 45152 0.40803889 -0.97864164 23.378906 -56.072036
    Oben rechts KachelX + 1 37025 KachelY 45152 0.40813476 -0.97864164 23.384399 -56.072036
    Unten links KachelX 37024 KachelY + 1 45153 0.40803889 -0.97869515 23.378906 -56.075102
    Unten rechts KachelX + 1 37025 KachelY + 1 45153 0.40813476 -0.97869515 23.384399 -56.075102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97864164--0.97869515) × R
    5.35099999999789e-05 × 6371000     		dl = 340.912209999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97864164--0.97869515) × R
    5.35099999999789e-05 × 6371000     		dr = 340.912209999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40803889-0.40813476) × cos(-0.97864164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558150146934739 × 6371000     		do = 340.911283571434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40803889-0.40813476) × cos(-0.97869515) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.558105746750024 × 6371000     		du = 340.884164481624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97864164)-sin(-0.97869515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558150146934739-0.558105746750024)×R²
    abs(0.40813476-0.40803889)×4.44001847148545e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44001847148545e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44001847148545e-05×40589641000000     		ar = 116216.196509642m²