Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37023 / 30405
↖ ↑ ↗
← N 12.870715°
E 23.373413°		 ← 595.44 m → N 12.870715°
E 23.378906°		 →
↑
595.43 m
↓
↑
595.43 m
↓
N 12.865360°
E 23.373413°		 ← 595.45 m →
354 550 m²		 N 12.865360°
E 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564933776855469 y=0.463951110839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564933776855469 × 216)
    floor (0.564933776855469 × 65536)
    floor (37023.5)     		tx = 37023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463951110839844 × 216)
    floor (0.463951110839844 × 65536)
    floor (30405.5)     		ty = 30405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37023 / 30405 ti = "16/37023/30405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37023/30405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37023 ÷ 216
    37023 ÷ 65536     		x = 0.564926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30405 ÷ 216
    30405 ÷ 65536     		y = 0.463943481445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564926147460938 × 2 - 1) × π
    0.129852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40794302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463943481445312 × 2 - 1) × π
    0.072113037109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.226549787604385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40794302} λ = 0.40794302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.226549787604385))-π/2
    2×atan(1.25426505513175)-π/2
    2×0.897716339159065-π/2
    1.79543267831813-1.57079632675     		φ = 0.22463635
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40794302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22463635 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.870715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37023 KachelY 30405 0.40794302 0.22463635 23.373413 12.870715
    Oben rechts KachelX + 1 37024 KachelY 30405 0.40803889 0.22463635 23.378906 12.870715
    Unten links KachelX 37023 KachelY + 1 30406 0.40794302 0.22454289 23.373413 12.865360
    Unten rechts KachelX + 1 37024 KachelY + 1 30406 0.40803889 0.22454289 23.378906 12.865360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22463635-0.22454289) × R
    9.34600000000174e-05 × 6371000     		dl = 595.433660000111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22463635-0.22454289) × R
    9.34600000000174e-05 × 6371000     		dr = 595.433660000111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40794302-0.40803889) × cos(0.22463635) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.974875175241714 × 6371000     		do = 595.441834314233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40794302-0.40803889) × cos(0.22454289) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.974895989373191 × 6371000     		du = 595.454547331182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22463635)-sin(0.22454289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974875175241714-0.974895989373191)×R²
    abs(0.40803889-0.40794302)×2.08141314773647e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.08141314773647e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.08141314773647e-05×40589641000000     		ar = 354549.895860115m²