Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37023 / 28319
↖ ↑ ↗
← N 23.730041°
E 23.373413°		 ← 559.15 m → N 23.730041°
E 23.378906°		 →
↑
559.18 m
↓
↑
559.18 m
↓
N 23.725012°
E 23.373413°		 ← 559.17 m →
312 671 m²		 N 23.725012°
E 23.378906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564933776855469 y=0.432121276855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564933776855469 × 216)
    floor (0.564933776855469 × 65536)
    floor (37023.5)     		tx = 37023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432121276855469 × 216)
    floor (0.432121276855469 × 65536)
    floor (28319.5)     		ty = 28319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37023 / 28319 ti = "16/37023/28319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37023/28319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37023 ÷ 216
    37023 ÷ 65536     		x = 0.564926147460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28319 ÷ 216
    28319 ÷ 65536     		y = 0.432113647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564926147460938 × 2 - 1) × π
    0.129852294921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40794302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432113647460938 × 2 - 1) × π
    0.135772705078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.42654253281926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40794302} λ = 0.40794302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42654253281926))-π/2
    2×atan(1.53195168378123)-π/2
    2×0.992481833089103-π/2
    1.98496366617821-1.57079632675     		φ = 0.41416734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40794302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.373413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41416734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.730041°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37023 KachelY 28319 0.40794302 0.41416734 23.373413 23.730041
    Oben rechts KachelX + 1 37024 KachelY 28319 0.40803889 0.41416734 23.378906 23.730041
    Unten links KachelX 37023 KachelY + 1 28320 0.40794302 0.41407957 23.373413 23.725012
    Unten rechts KachelX + 1 37024 KachelY + 1 28320 0.40803889 0.41407957 23.378906 23.725012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41416734-0.41407957) × R
    8.7769999999987e-05 × 6371000     		dl = 559.182669999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41416734-0.41407957) × R
    8.7769999999987e-05 × 6371000     		dr = 559.182669999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40794302-0.40803889) × cos(0.41416734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915451723347843 × 6371000     		do = 559.146716646274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40794302-0.40803889) × cos(0.41407957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915487040910553 × 6371000     		du = 559.168288181643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41416734)-sin(0.41407957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915451723347843-0.915487040910553)×R²
    abs(0.40803889-0.40794302)×3.53175627092472e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53175627092472e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53175627092472e-05×40589641000000     		ar = 312671.185351079m²