Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37020 / 45277
↖ ↑ ↗
← S 56.453385°
E 23.356933°		 ← 337.57 m → S 56.453385°
E 23.362427°		 →
↑
337.54 m
↓
↑
337.54 m
↓
S 56.456420°
E 23.356933°		 ← 337.54 m →
113 936 m²		 S 56.456420°
E 23.362427°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564888000488281 y=0.690879821777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564888000488281 × 216)
    floor (0.564888000488281 × 65536)
    floor (37020.5)     		tx = 37020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690879821777344 × 216)
    floor (0.690879821777344 × 65536)
    floor (45277.5)     		ty = 45277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37020 / 45277 ti = "16/37020/45277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37020/45277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37020 ÷ 216
    37020 ÷ 65536     		x = 0.56488037109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45277 ÷ 216
    45277 ÷ 65536     		y = 0.690872192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56488037109375 × 2 - 1) × π
    0.1297607421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40765539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690872192382812 × 2 - 1) × π
    -0.381744384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.19928535469456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40765539} λ = 0.40765539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19928535469456))-π/2
    2×atan(0.301409535872734)-π/2
    2×0.292749444456486-π/2
    0.585498888912971-1.57079632675     		φ = -0.98529744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40765539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.356933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98529744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.453385°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37020 KachelY 45277 0.40765539 -0.98529744 23.356933 -56.453385
    Oben rechts KachelX + 1 37021 KachelY 45277 0.40775127 -0.98529744 23.362427 -56.453385
    Unten links KachelX 37020 KachelY + 1 45278 0.40765539 -0.98535042 23.356933 -56.456420
    Unten rechts KachelX + 1 37021 KachelY + 1 45278 0.40775127 -0.98535042 23.362427 -56.456420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98529744--0.98535042) × R
    5.29799999999803e-05 × 6371000     		dl = 337.535579999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98529744--0.98535042) × R
    5.29799999999803e-05 × 6371000     		dr = 337.535579999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40765539-0.40775127) × cos(-0.98529744) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552615241545461 × 6371000     		do = 337.565838168577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40765539-0.40775127) × cos(-0.98535042) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.552571085304299 × 6371000     		du = 337.538865263312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98529744)-sin(-0.98535042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.552615241545461-0.552571085304299)×R²
    abs(0.40775127-0.40765539)×4.41562411618301e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.41562411618301e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.41562411618301e-05×40589641000000     		ar = 113935.928843374m²