Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37020 / 102811
↖ ↑ ↗
← S 70.983875°
W 78.321533°		 ← 99.52 m → S 70.983875°
W 78.318786°		 →
↑
99.52 m
↓
↑
99.52 m
↓
S 70.984770°
W 78.321533°		 ← 99.51 m →
9 903 m²		 S 70.984770°
W 78.318786°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282444000244141 y=0.784389495849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282444000244141 × 217)
    floor (0.282444000244141 × 131072)
    floor (37020.5)     		tx = 37020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784389495849609 × 217)
    floor (0.784389495849609 × 131072)
    floor (102811.5)     		ty = 102811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37020 / 102811 ti = "17/37020/102811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37020/102811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37020 ÷ 217
    37020 ÷ 131072     		x = 0.282440185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102811 ÷ 217
    102811 ÷ 131072     		y = 0.784385681152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282440185546875 × 2 - 1) × π
    -0.43511962890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36696863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784385681152344 × 2 - 1) × π
    -0.568771362304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.78684793333759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36696863} λ = -1.36696863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78684793333759))-π/2
    2×atan(0.167487269542353)-π/2
    2×0.165946995431832-π/2
    0.331893990863663-1.57079632675     		φ = -1.23890234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36696863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.321533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23890234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.983875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37020 KachelY 102811 -1.36696863 -1.23890234 -78.321533 -70.983875
    Oben rechts KachelX + 1 37021 KachelY 102811 -1.36692069 -1.23890234 -78.318786 -70.983875
    Unten links KachelX 37020 KachelY + 1 102812 -1.36696863 -1.23891796 -78.321533 -70.984770
    Unten rechts KachelX + 1 37021 KachelY + 1 102812 -1.36692069 -1.23891796 -78.318786 -70.984770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23890234--1.23891796) × R
    1.56199999998829e-05 × 6371000     		dl = 99.5150199992543m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23890234--1.23891796) × R
    1.56199999998829e-05 × 6371000     		dr = 99.5150199992543m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36696863--1.36692069) × cos(-1.23890234) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325834237828546 × 6371000     		do = 99.5181632060543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36696863--1.36692069) × cos(-1.23891796) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325819470220403 × 6371000     		du = 99.5136527984091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23890234)-sin(-1.23891796))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325834237828546-0.325819470220403)×R²
    abs(-1.36692069--1.36696863)×1.47676081430625e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47676081430625e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47676081430625e-05×40589641000000     		ar = 9903.32757534629m²