Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3702 / 2421
↖ ↑ ↗
← N 59.063154°
W 17.314453°		 ← 2 512.14 m → N 59.063154°
W 17.270508°		 →
↑
2 512.91 m
↓
↑
2 512.91 m
↓
N 59.040555°
W 17.314453°		 ← 2 513.80 m →
6 314 879 m²		 N 59.040555°
W 17.270508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45196533203125 y=0.29559326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45196533203125 × 213)
    floor (0.45196533203125 × 8192)
    floor (3702.5)     		tx = 3702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29559326171875 × 213)
    floor (0.29559326171875 × 8192)
    floor (2421.5)     		ty = 2421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3702 / 2421 ti = "13/3702/2421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3702/2421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3702 ÷ 213
    3702 ÷ 8192     		x = 0.451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2421 ÷ 213
    2421 ÷ 8192     		y = 0.2955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.09619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30219422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2955322265625 × 2 - 1) × π
    0.408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.2847089098175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30219422} λ = -0.30219422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2847089098175))-π/2
    2×atan(3.61361591598899)-π/2
    2×1.30082141555915-π/2
    2.60164283111829-1.57079632675     		φ = 1.03084650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30219422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.314453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03084650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.063154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3702 KachelY 2421 -0.30219422 1.03084650 -17.314453 59.063154
    Oben rechts KachelX + 1 3703 KachelY 2421 -0.30142722 1.03084650 -17.270508 59.063154
    Unten links KachelX 3702 KachelY + 1 2422 -0.30219422 1.03045207 -17.314453 59.040555
    Unten rechts KachelX + 1 3703 KachelY + 1 2422 -0.30142722 1.03045207 -17.270508 59.040555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03084650-1.03045207) × R
    0.000394430000000057 × 6371000     		dl = 2512.91353000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03084650-1.03045207) × R
    0.000394430000000057 × 6371000     		dr = 2512.91353000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30219422--0.30142722) × cos(1.03084650) × R
    0.000767000000000018 × 0.514092957012412 × 6371000     		do = 2512.14453773976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30219422--0.30142722) × cos(1.03045207) × R
    0.000767000000000018 × 0.51443123322305 × 6371000     		du = 2513.79754372478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03084650)-sin(1.03045207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.514092957012412-0.51443123322305)×R²
    abs(-0.30142722--0.30219422)×0.000338276210637867×R²
    0.000767000000000018×0.000338276210637867×6371000²
    0.000767000000000018×0.000338276210637867×40589641000000     		ar = 6314879.01062607m²