Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37019 / 45331
↖ ↑ ↗
← S 56.616954°
E 23.351440°		 ← 336.08 m → S 56.616954°
E 23.356933°		 →
↑
336.07 m
↓
↑
336.07 m
↓
S 56.619976°
E 23.351440°		 ← 336.05 m →
112 941 m²		 S 56.619976°
E 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564872741699219 y=0.691703796386719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564872741699219 × 216)
    floor (0.564872741699219 × 65536)
    floor (37019.5)     		tx = 37019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691703796386719 × 216)
    floor (0.691703796386719 × 65536)
    floor (45331.5)     		ty = 45331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37019 / 45331 ti = "16/37019/45331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37019/45331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37019 ÷ 216
    37019 ÷ 65536     		x = 0.564865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45331 ÷ 216
    45331 ÷ 65536     		y = 0.691696166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564865112304688 × 2 - 1) × π
    0.129730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40755952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691696166992188 × 2 - 1) × π
    -0.383392333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20446253985353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40755952} λ = 0.40755952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20446253985353))-π/2
    2×atan(0.299853115311982)-π/2
    2×0.291322032436149-π/2
    0.582644064872298-1.57079632675     		φ = -0.98815226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40755952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98815226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.616954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37019 KachelY 45331 0.40755952 -0.98815226 23.351440 -56.616954
    Oben rechts KachelX + 1 37020 KachelY 45331 0.40765539 -0.98815226 23.356933 -56.616954
    Unten links KachelX 37019 KachelY + 1 45332 0.40755952 -0.98820501 23.351440 -56.619976
    Unten rechts KachelX + 1 37020 KachelY + 1 45332 0.40765539 -0.98820501 23.356933 -56.619976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98815226--0.98820501) × R
    5.27500000000458e-05 × 6371000     		dl = 336.070250000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98815226--0.98820501) × R
    5.27500000000458e-05 × 6371000     		dr = 336.070250000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40755952-0.40765539) × cos(-0.98815226) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550233681691696 × 6371000     		do = 336.076003419354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40755952-0.40765539) × cos(-0.98820501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.550189634110927 × 6371000     		du = 336.049099695722m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98815226)-sin(-0.98820501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.550233681691696-0.550189634110927)×R²
    abs(0.40765539-0.40755952)×4.40475807688134e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40475807688134e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40475807688134e-05×40589641000000     		ar = 112940.625743859m²