Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37019 / 30437
↖ ↑ ↗
← N 12.699292°
E 23.351440°		 ← 595.85 m → N 12.699292°
E 23.356933°		 →
↑
595.88 m
↓
↑
595.88 m
↓
N 12.693933°
E 23.351440°		 ← 595.86 m →
355 056 m²		 N 12.693933°
E 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564872741699219 y=0.464439392089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564872741699219 × 216)
    floor (0.564872741699219 × 65536)
    floor (37019.5)     		tx = 37019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464439392089844 × 216)
    floor (0.464439392089844 × 65536)
    floor (30437.5)     		ty = 30437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37019 / 30437 ti = "16/37019/30437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37019/30437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37019 ÷ 216
    37019 ÷ 65536     		x = 0.564865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30437 ÷ 216
    30437 ÷ 65536     		y = 0.464431762695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564865112304688 × 2 - 1) × π
    0.129730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40755952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464431762695312 × 2 - 1) × π
    0.071136474609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.223481826028702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40755952} λ = 0.40755952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223481826028702))-π/2
    2×atan(1.25042291491979)-π/2
    2×0.89622039049783-π/2
    1.79244078099566-1.57079632675     		φ = 0.22164445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40755952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22164445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.699292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37019 KachelY 30437 0.40755952 0.22164445 23.351440 12.699292
    Oben rechts KachelX + 1 37020 KachelY 30437 0.40765539 0.22164445 23.356933 12.699292
    Unten links KachelX 37019 KachelY + 1 30438 0.40755952 0.22155092 23.351440 12.693933
    Unten rechts KachelX + 1 37020 KachelY + 1 30438 0.40765539 0.22155092 23.356933 12.693933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22164445-0.22155092) × R
    9.35299999999806e-05 × 6371000     		dl = 595.879629999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22164445-0.22155092) × R
    9.35299999999806e-05 × 6371000     		dr = 595.879629999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40755952-0.40765539) × cos(0.22164445) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975537262270318 × 6371000     		do = 595.84622897398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40755952-0.40765539) × cos(0.22155092) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975557819090643 × 6371000     		du = 595.858784828424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22164445)-sin(0.22155092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975537262270318-0.975557819090643)×R²
    abs(0.40765539-0.40755952)×2.05568203249795e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05568203249795e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05568203249795e-05×40589641000000     		ar = 355056.371605698m²