Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37019 / 28322
↖ ↑ ↗
← N 23.714953°
E 23.351440°		 ← 559.21 m → N 23.714953°
E 23.356933°		 →
↑
559.25 m
↓
↑
559.25 m
↓
N 23.709924°
E 23.351440°		 ← 559.23 m →
312 743 m²		 N 23.709924°
E 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564872741699219 y=0.432167053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564872741699219 × 216)
    floor (0.564872741699219 × 65536)
    floor (37019.5)     		tx = 37019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432167053222656 × 216)
    floor (0.432167053222656 × 65536)
    floor (28322.5)     		ty = 28322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37019 / 28322 ti = "16/37019/28322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37019/28322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37019 ÷ 216
    37019 ÷ 65536     		x = 0.564865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28322 ÷ 216
    28322 ÷ 65536     		y = 0.432159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564865112304688 × 2 - 1) × π
    0.129730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40755952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432159423828125 × 2 - 1) × π
    0.13568115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.426254911421539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40755952} λ = 0.40755952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.426254911421539))-π/2
    2×atan(1.5315111250568)-π/2
    2×0.992350173719049-π/2
    1.9847003474381-1.57079632675     		φ = 0.41390402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40755952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41390402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.714953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37019 KachelY 28322 0.40755952 0.41390402 23.351440 23.714953
    Oben rechts KachelX + 1 37020 KachelY 28322 0.40765539 0.41390402 23.356933 23.714953
    Unten links KachelX 37019 KachelY + 1 28323 0.40755952 0.41381624 23.351440 23.709924
    Unten rechts KachelX + 1 37020 KachelY + 1 28323 0.40765539 0.41381624 23.356933 23.709924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41390402-0.41381624) × R
    8.77799999999818e-05 × 6371000     		dl = 559.246379999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41390402-0.41381624) × R
    8.77799999999818e-05 × 6371000     		dr = 559.246379999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40755952-0.40765539) × cos(0.41390402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915557658900003 × 6371000     		do = 559.211420785941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40755952-0.40765539) × cos(0.41381624) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915592959324593 × 6371000     		du = 559.232981853557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41390402)-sin(0.41381624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915557658900003-0.915592959324593)×R²
    abs(0.40765539-0.40755952)×3.53004245899902e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53004245899902e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53004245899902e-05×40589641000000     		ar = 312742.991904553m²