Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37019 / 28060
↖ ↑ ↗
← N 25.025884°
E 23.351440°		 ← 553.45 m → N 25.025884°
E 23.356933°		 →
↑
553.51 m
↓
↑
553.51 m
↓
N 25.020906°
E 23.351440°		 ← 553.47 m →
306 345 m²		 N 25.020906°
E 23.356933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564872741699219 y=0.428169250488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564872741699219 × 216)
    floor (0.564872741699219 × 65536)
    floor (37019.5)     		tx = 37019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428169250488281 × 216)
    floor (0.428169250488281 × 65536)
    floor (28060.5)     		ty = 28060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37019 / 28060 ti = "16/37019/28060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37019/28060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37019 ÷ 216
    37019 ÷ 65536     		x = 0.564865112304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28060 ÷ 216
    28060 ÷ 65536     		y = 0.42816162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564865112304688 × 2 - 1) × π
    0.129730224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40755952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42816162109375 × 2 - 1) × π
    0.1436767578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.451373846822449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40755952} λ = 0.40755952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451373846822449))-π/2
    2×atan(1.57046828694025)-π/2
    2×1.0037902009546-π/2
    2.00758040190921-1.57079632675     		φ = 0.43678408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40755952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.351440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43678408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.025884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37019 KachelY 28060 0.40755952 0.43678408 23.351440 25.025884
    Oben rechts KachelX + 1 37020 KachelY 28060 0.40765539 0.43678408 23.356933 25.025884
    Unten links KachelX 37019 KachelY + 1 28061 0.40755952 0.43669720 23.351440 25.020906
    Unten rechts KachelX + 1 37020 KachelY + 1 28061 0.40765539 0.43669720 23.356933 25.020906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43678408-0.43669720) × R
    8.68800000000114e-05 × 6371000     		dl = 553.512480000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43678408-0.43669720) × R
    8.68800000000114e-05 × 6371000     		dr = 553.512480000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40755952-0.40765539) × cos(0.43678408) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906116769572565 × 6371000     		do = 553.445041046819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40755952-0.40765539) × cos(0.43669720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906153518795749 × 6371000     		du = 553.467487022896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43678408)-sin(0.43669720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906116769572565-0.906153518795749)×R²
    abs(0.40765539-0.40755952)×3.67492231831967e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67492231831967e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67492231831967e-05×40589641000000     		ar = 306344.949470153m²