Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37018 / 45177
↖ ↑ ↗
← S 56.148610°
E 23.345947°		 ← 340.23 m → S 56.148610°
E 23.351440°		 →
↑
340.21 m
↓
↑
340.21 m
↓
S 56.151669°
E 23.345947°		 ← 340.21 m →
115 747 m²		 S 56.151669°
E 23.351440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564857482910156 y=0.689353942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564857482910156 × 216)
    floor (0.564857482910156 × 65536)
    floor (37018.5)     		tx = 37018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689353942871094 × 216)
    floor (0.689353942871094 × 65536)
    floor (45177.5)     		ty = 45177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37018 / 45177 ti = "16/37018/45177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37018/45177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37018 ÷ 216
    37018 ÷ 65536     		x = 0.564849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45177 ÷ 216
    45177 ÷ 65536     		y = 0.689346313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564849853515625 × 2 - 1) × π
    0.12969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40746365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689346313476562 × 2 - 1) × π
    -0.378692626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.18969797477055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40746365} λ = 0.40746365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18969797477055))-π/2
    2×atan(0.304313160440599)-π/2
    2×0.295409109974185-π/2
    0.590818219948369-1.57079632675     		φ = -0.97997811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40746365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97997811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.148610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37018 KachelY 45177 0.40746365 -0.97997811 23.345947 -56.148610
    Oben rechts KachelX + 1 37019 KachelY 45177 0.40755952 -0.97997811 23.351440 -56.148610
    Unten links KachelX 37018 KachelY + 1 45178 0.40746365 -0.98003151 23.345947 -56.151669
    Unten rechts KachelX + 1 37019 KachelY + 1 45178 0.40755952 -0.98003151 23.351440 -56.151669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97997811--0.98003151) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dl = 340.21139999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97997811--0.98003151) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dr = 340.21139999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40746365-0.40755952) × cos(-0.97997811) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557040726220201 × 6371000     		do = 340.23366296721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40746365-0.40755952) × cos(-0.98003151) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556996377517549 × 6371000     		du = 340.206575322015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97997811)-sin(-0.98003151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557040726220201-0.556996377517549)×R²
    abs(0.40755952-0.40746365)×4.43487026519085e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43487026519085e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43487026519085e-05×40589641000000     		ar = 115746.763069819m²