Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37018 / 45175
↖ ↑ ↗
← S 56.142489°
E 23.345947°		 ← 340.29 m → S 56.142489°
E 23.351440°		 →
↑
340.28 m
↓
↑
340.28 m
↓
S 56.145550°
E 23.345947°		 ← 340.26 m →
115 787 m²		 S 56.145550°
E 23.351440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564857482910156 y=0.689323425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564857482910156 × 216)
    floor (0.564857482910156 × 65536)
    floor (37018.5)     		tx = 37018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689323425292969 × 216)
    floor (0.689323425292969 × 65536)
    floor (45175.5)     		ty = 45175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37018 / 45175 ti = "16/37018/45175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37018/45175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37018 ÷ 216
    37018 ÷ 65536     		x = 0.564849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45175 ÷ 216
    45175 ÷ 65536     		y = 0.689315795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564849853515625 × 2 - 1) × π
    0.12969970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40746365
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689315795898438 × 2 - 1) × π
    -0.378631591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18950622717207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40746365} λ = 0.40746365}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18950622717207))-π/2
    2×atan(0.30437151735302)-π/2
    2×0.295462519837563-π/2
    0.590925039675127-1.57079632675     		φ = -0.97987129
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40746365} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.345947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97987129 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.142489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37018 KachelY 45175 0.40746365 -0.97987129 23.345947 -56.142489
    Oben rechts KachelX + 1 37019 KachelY 45175 0.40755952 -0.97987129 23.351440 -56.142489
    Unten links KachelX 37018 KachelY + 1 45176 0.40746365 -0.97992470 23.345947 -56.145550
    Unten rechts KachelX + 1 37019 KachelY + 1 45176 0.40755952 -0.97992470 23.351440 -56.145550
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97987129--0.97992470) × R
    5.34100000000315e-05 × 6371000     		dl = 340.275110000201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97987129--0.97992470) × R
    5.34100000000315e-05 × 6371000     		dr = 340.275110000201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40746365-0.40755952) × cos(-0.97987129) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557129435468587 × 6371000     		do = 340.28784549121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40746365-0.40755952) × cos(-0.97992470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.557085081638972 × 6371000     		du = 340.260754714528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97987129)-sin(-0.97992470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.557129435468587-0.557085081638972)×R²
    abs(0.40755952-0.40746365)×4.43538296146517e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43538296146517e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43538296146517e-05×40589641000000     		ar = 115786.874925131m²