Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37016 / 45208
↖ ↑ ↗
← S 56.243350°
E 23.334961°		 ← 339.39 m → S 56.243350°
E 23.340454°		 →
↑
339.38 m
↓
↑
339.38 m
↓
S 56.246402°
E 23.334961°		 ← 339.37 m →
115 180 m²		 S 56.246402°
E 23.340454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564826965332031 y=0.689826965332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564826965332031 × 216)
    floor (0.564826965332031 × 65536)
    floor (37016.5)     		tx = 37016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689826965332031 × 216)
    floor (0.689826965332031 × 65536)
    floor (45208.5)     		ty = 45208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37016 / 45208 ti = "16/37016/45208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37016/45208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37016 ÷ 216
    37016 ÷ 65536     		x = 0.5648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45208 ÷ 216
    45208 ÷ 65536     		y = 0.6898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5648193359375 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.379638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.192670062547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40727190} λ = 0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.192670062547))-π/2
    2×atan(0.303410057731286)-π/2
    2×0.29458234414345-π/2
    0.589164688286899-1.57079632675     		φ = -0.98163164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98163164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.243350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37016 KachelY 45208 0.40727190 -0.98163164 23.334961 -56.243350
    Oben rechts KachelX + 1 37017 KachelY 45208 0.40736777 -0.98163164 23.340454 -56.243350
    Unten links KachelX 37016 KachelY + 1 45209 0.40727190 -0.98168491 23.334961 -56.246402
    Unten rechts KachelX + 1 37017 KachelY + 1 45209 0.40736777 -0.98168491 23.340454 -56.246402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98163164--0.98168491) × R
    5.32699999999942e-05 × 6371000     		dl = 339.383169999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98163164--0.98168491) × R
    5.32699999999942e-05 × 6371000     		dr = 339.383169999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40727190-0.40736777) × cos(-0.98163164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555666733171665 × 6371000     		do = 339.394444817099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40727190-0.40736777) × cos(-0.98168491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555622443432279 × 6371000     		du = 339.367393185945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98163164)-sin(-0.98168491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555666733171665-0.555622443432279)×R²
    abs(0.40736777-0.40727190)×4.42897393861941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.42897393861941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.42897393861941e-05×40589641000000     		ar = 115180.172155239m²