Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37016 / 30342
↖ ↑ ↗
← N 13.207860°
E 23.334961°		 ← 594.63 m → N 13.207860°
E 23.340454°		 →
↑
594.67 m
↓
↑
594.67 m
↓
N 13.202512°
E 23.334961°		 ← 594.64 m →
353 613 m²		 N 13.202512°
E 23.340454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564826965332031 y=0.462989807128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564826965332031 × 216)
    floor (0.564826965332031 × 65536)
    floor (37016.5)     		tx = 37016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462989807128906 × 216)
    floor (0.462989807128906 × 65536)
    floor (30342.5)     		ty = 30342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37016 / 30342 ti = "16/37016/30342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37016/30342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37016 ÷ 216
    37016 ÷ 65536     		x = 0.5648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30342 ÷ 216
    30342 ÷ 65536     		y = 0.462982177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5648193359375 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462982177734375 × 2 - 1) × π
    0.07403564453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.232589836956512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40727190} λ = 0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232589836956512))-π/2
    2×atan(1.26186380327071)-π/2
    2×0.900658489571551-π/2
    1.8013169791431-1.57079632675     		φ = 0.23052065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23052065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.207860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37016 KachelY 30342 0.40727190 0.23052065 23.334961 13.207860
    Oben rechts KachelX + 1 37017 KachelY 30342 0.40736777 0.23052065 23.340454 13.207860
    Unten links KachelX 37016 KachelY + 1 30343 0.40727190 0.23042731 23.334961 13.202512
    Unten rechts KachelX + 1 37017 KachelY + 1 30343 0.40736777 0.23042731 23.340454 13.202512
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23052065-0.23042731) × R
    9.33399999999973e-05 × 6371000     		dl = 594.669139999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23052065-0.23042731) × R
    9.33399999999973e-05 × 6371000     		dr = 594.669139999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40727190-0.40736777) × cos(0.23052065) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97354756654411 × 6371000     		do = 594.630947158391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40727190-0.40736777) × cos(0.23042731) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973568889040018 × 6371000     		du = 594.643970678117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23052065)-sin(0.23042731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97354756654411-0.973568889040018)×R²
    abs(0.40736777-0.40727190)×2.13224959075831e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.13224959075831e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.13224959075831e-05×40589641000000     		ar = 353612.546563433m²