Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37016 / 28061
↖ ↑ ↗
← N 25.020906°
E 23.334961°		 ← 553.47 m → N 25.020906°
E 23.340454°		 →
↑
553.51 m
↓
↑
553.51 m
↓
N 25.015929°
E 23.334961°		 ← 553.49 m →
306 357 m²		 N 25.015929°
E 23.340454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564826965332031 y=0.428184509277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564826965332031 × 216)
    floor (0.564826965332031 × 65536)
    floor (37016.5)     		tx = 37016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428184509277344 × 216)
    floor (0.428184509277344 × 65536)
    floor (28061.5)     		ty = 28061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37016 / 28061 ti = "16/37016/28061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37016/28061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37016 ÷ 216
    37016 ÷ 65536     		x = 0.5648193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28061 ÷ 216
    28061 ÷ 65536     		y = 0.428176879882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5648193359375 × 2 - 1) × π
    0.129638671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40727190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.428176879882812 × 2 - 1) × π
    0.143646240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.451277973023209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40727190} λ = 0.40727190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.451277973023209))-π/2
    2×atan(1.57031772739646)-π/2
    2×1.00374676364509-π/2
    2.00749352729018-1.57079632675     		φ = 0.43669720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40727190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.334961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43669720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.020906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37016 KachelY 28061 0.40727190 0.43669720 23.334961 25.020906
    Oben rechts KachelX + 1 37017 KachelY 28061 0.40736777 0.43669720 23.340454 25.020906
    Unten links KachelX 37016 KachelY + 1 28062 0.40727190 0.43661032 23.334961 25.015929
    Unten rechts KachelX + 1 37017 KachelY + 1 28062 0.40736777 0.43661032 23.340454 25.015929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43669720-0.43661032) × R
    8.68800000000114e-05 × 6371000     		dl = 553.512480000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43669720-0.43661032) × R
    8.68800000000114e-05 × 6371000     		dr = 553.512480000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40727190-0.40736777) × cos(0.43669720) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906153518795749 × 6371000     		do = 553.467487022896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40727190-0.40736777) × cos(0.43661032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.906190261179163 × 6371000     		du = 553.489928821327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43669720)-sin(0.43661032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.906153518795749-0.906190261179163)×R²
    abs(0.40736777-0.40727190)×3.67423834145564e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67423834145564e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67423834145564e-05×40589641000000     		ar = 306357.372442081m²