Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37014 / 45310
↖ ↑ ↗
← S 56.553428°
E 23.323975°		 ← 336.68 m → S 56.553428°
E 23.329468°		 →
↑
336.64 m
↓
↑
336.64 m
↓
S 56.556455°
E 23.323975°		 ← 336.65 m →
113 335 m²		 S 56.556455°
E 23.329468°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564796447753906 y=0.691383361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564796447753906 × 216)
    floor (0.564796447753906 × 65536)
    floor (37014.5)     		tx = 37014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691383361816406 × 216)
    floor (0.691383361816406 × 65536)
    floor (45310.5)     		ty = 45310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37014 / 45310 ti = "16/37014/45310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37014/45310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37014 ÷ 216
    37014 ÷ 65536     		x = 0.564788818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45310 ÷ 216
    45310 ÷ 65536     		y = 0.691375732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564788818359375 × 2 - 1) × π
    0.12957763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40708015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691375732421875 × 2 - 1) × π
    -0.38275146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.20244919006949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40708015} λ = 0.40708015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20244919006949))-π/2
    2×atan(0.300457432663908)-π/2
    2×0.291876404619193-π/2
    0.583752809238386-1.57079632675     		φ = -0.98704352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40708015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.323975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98704352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.553428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37014 KachelY 45310 0.40708015 -0.98704352 23.323975 -56.553428
    Oben rechts KachelX + 1 37015 KachelY 45310 0.40717603 -0.98704352 23.329468 -56.553428
    Unten links KachelX 37014 KachelY + 1 45311 0.40708015 -0.98709636 23.323975 -56.556455
    Unten rechts KachelX + 1 37015 KachelY + 1 45311 0.40717603 -0.98709636 23.329468 -56.556455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98704352--0.98709636) × R
    5.2840000000054e-05 × 6371000     		dl = 336.643640000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98704352--0.98709636) × R
    5.2840000000054e-05 × 6371000     		dr = 336.643640000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40708015-0.40717603) × cos(-0.98704352) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.551159153080764 × 6371000     		do = 336.676384375101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40708015-0.40717603) × cos(-0.98709636) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.55111506260813 × 6371000     		du = 336.649451644638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98704352)-sin(-0.98709636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551159153080764-0.55111506260813)×R²
    abs(0.40717603-0.40708015)×4.40904726343172e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.40904726343172e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.40904726343172e-05×40589641000000     		ar = 113335.430198473m²