Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37012 / 30373
↖ ↑ ↗
← N 13.042021°
E 23.312988°		 ← 595.09 m → N 13.042021°
E 23.318482°		 →
↑
595.05 m
↓
↑
595.05 m
↓
N 13.036669°
E 23.312988°		 ← 595.11 m →
354 116 m²		 N 13.036669°
E 23.318482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564765930175781 y=0.463462829589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564765930175781 × 216)
    floor (0.564765930175781 × 65536)
    floor (37012.5)     		tx = 37012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463462829589844 × 216)
    floor (0.463462829589844 × 65536)
    floor (30373.5)     		ty = 30373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37012 / 30373 ti = "16/37012/30373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37012/30373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37012 ÷ 216
    37012 ÷ 65536     		x = 0.56475830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30373 ÷ 216
    30373 ÷ 65536     		y = 0.463455200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56475830078125 × 2 - 1) × π
    0.1295166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40688840
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463455200195312 × 2 - 1) × π
    0.073089599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.229617749180069
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40688840} λ = 0.40688840}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.229617749180069))-π/2
    2×atan(1.25811900098261)-π/2
    2×0.899211265849248-π/2
    1.7984225316985-1.57079632675     		φ = 0.22762620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40688840} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.312988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22762620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.042021°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37012 KachelY 30373 0.40688840 0.22762620 23.312988 13.042021
    Oben rechts KachelX + 1 37013 KachelY 30373 0.40698428 0.22762620 23.318482 13.042021
    Unten links KachelX 37012 KachelY + 1 30374 0.40688840 0.22753280 23.312988 13.036669
    Unten rechts KachelX + 1 37013 KachelY + 1 30374 0.40698428 0.22753280 23.318482 13.036669
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22762620-0.22753280) × R
    9.33999999999935e-05 × 6371000     		dl = 595.051399999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22762620-0.22753280) × R
    9.33999999999935e-05 × 6371000     		dr = 595.051399999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40688840-0.40698428) × cos(0.22762620) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974204824274529 × 6371000     		do = 595.094458731191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40688840-0.40698428) × cos(0.22753280) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.974225897191721 × 6371000     		du = 595.107331153845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22762620)-sin(0.22753280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974204824274529-0.974225897191721)×R²
    abs(0.40698428-0.40688840)×2.10729171911117e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.10729171911117e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.10729171911117e-05×40589641000000     		ar = 354115.620934244m²