Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37012 / 20588
↖ ↑ ↗
← N 76.773116°
W 78.343506°		 ← 69.87 m → N 76.773116°
W 78.340759°		 →
↑
69.89 m
↓
↑
69.89 m
↓
N 76.772487°
W 78.343506°		 ← 69.87 m →
4 883 m²		 N 76.772487°
W 78.340759°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282382965087891 y=0.157077789306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282382965087891 × 217)
    floor (0.282382965087891 × 131072)
    floor (37012.5)     		tx = 37012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157077789306641 × 217)
    floor (0.157077789306641 × 131072)
    floor (20588.5)     		ty = 20588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37012 / 20588 ti = "17/37012/20588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37012/20588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37012 ÷ 217
    37012 ÷ 131072     		x = 0.282379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20588 ÷ 217
    20588 ÷ 131072     		y = 0.157073974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.43524169921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36735212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157073974609375 × 2 - 1) × π
    0.68585205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15466776412228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36735212} λ = -1.36735212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15466776412228))-π/2
    2×atan(8.62502416042576)-π/2
    2×1.45536998689698-π/2
    2.91073997379396-1.57079632675     		φ = 1.33994365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36735212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.343506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33994365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.773116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37012 KachelY 20588 -1.36735212 1.33994365 -78.343506 76.773116
    Oben rechts KachelX + 1 37013 KachelY 20588 -1.36730419 1.33994365 -78.340759 76.773116
    Unten links KachelX 37012 KachelY + 1 20589 -1.36735212 1.33993268 -78.343506 76.772487
    Unten rechts KachelX + 1 37013 KachelY + 1 20589 -1.36730419 1.33993268 -78.340759 76.772487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33994365-1.33993268) × R
    1.09699999999435e-05 × 6371000     		dl = 69.8898699996402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33994365-1.33993268) × R
    1.09699999999435e-05 × 6371000     		dr = 69.8898699996402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36735212--1.36730419) × cos(1.33994365) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228807663299173 × 6371000     		do = 69.8691725446348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36735212--1.36730419) × cos(1.33993268) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228818342269405 × 6371000     		du = 69.8724334966631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33994365)-sin(1.33993268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228807663299173-0.228818342269405)×R²
    abs(-1.36730419--1.36735212)×1.0678970231992e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0678970231992e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0678970231992e-05×40589641000000     		ar = 4883.26133981242m²