Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37011 / 20589
↖ ↑ ↗
← N 76.772487°
W 78.346252°		 ← 69.89 m → N 76.772487°
W 78.343506°		 →
↑
69.89 m
↓
↑
69.89 m
↓
N 76.771859°
W 78.346252°		 ← 69.89 m →
4 885 m²		 N 76.771859°
W 78.343506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282375335693359 y=0.157085418701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282375335693359 × 217)
    floor (0.282375335693359 × 131072)
    floor (37011.5)     		tx = 37011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157085418701172 × 217)
    floor (0.157085418701172 × 131072)
    floor (20589.5)     		ty = 20589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37011 / 20589 ti = "17/37011/20589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37011/20589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37011 ÷ 217
    37011 ÷ 131072     		x = 0.282371520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20589 ÷ 217
    20589 ÷ 131072     		y = 0.157081604003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282371520996094 × 2 - 1) × π
    -0.435256958007812 × 3.1415926535     		Λ = -1.36740006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157081604003906 × 2 - 1) × π
    0.685836791992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.15461982722266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36740006} λ = -1.36740006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15461982722266))-π/2
    2×atan(8.62461071341813)-π/2
    2×1.45536450260396-π/2
    2.91072900520791-1.57079632675     		φ = 1.33993268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36740006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.346252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33993268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.772487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37011 KachelY 20589 -1.36740006 1.33993268 -78.346252 76.772487
    Oben rechts KachelX + 1 37012 KachelY 20589 -1.36735212 1.33993268 -78.343506 76.772487
    Unten links KachelX 37011 KachelY + 1 20590 -1.36740006 1.33992171 -78.346252 76.771859
    Unten rechts KachelX + 1 37012 KachelY + 1 20590 -1.36735212 1.33992171 -78.343506 76.771859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33993268-1.33992171) × R
    1.09699999999435e-05 × 6371000     		dl = 69.8898699996402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33993268-1.33992171) × R
    1.09699999999435e-05 × 6371000     		dr = 69.8898699996402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36740006--1.36735212) × cos(1.33993268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228818342269405 × 6371000     		do = 69.8870115131605m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36740006--1.36735212) × cos(1.33992171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228829021212101 × 6371000     		du = 69.8902731371358m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33993268)-sin(1.33992171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228818342269405-0.228829021212101)×R²
    abs(-1.36735212--1.36740006)×1.06789426957687e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06789426957687e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06789426957687e-05×40589641000000     		ar = 4884.50812653851m²