Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37010 / 68784
↖ ↑ ↗
← S  8.885071°
W 78.348999°		 ← 301.76 m → S  8.885071°
W 78.346252°		 →
↑
301.79 m
↓
↑
301.79 m
↓
S  8.887785°
W 78.348999°		 ← 301.76 m →
91 069 m²		 S  8.887785°
W 78.346252°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282367706298828 y=0.524784088134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282367706298828 × 217)
    floor (0.282367706298828 × 131072)
    floor (37010.5)     		tx = 37010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524784088134766 × 217)
    floor (0.524784088134766 × 131072)
    floor (68784.5)     		ty = 68784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37010 / 68784 ti = "17/37010/68784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37010/68784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37010 ÷ 217
    37010 ÷ 131072     		x = 0.282363891601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68784 ÷ 217
    68784 ÷ 131072     		y = 0.5247802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282363891601562 × 2 - 1) × π
    -0.435272216796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36744800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5247802734375 × 2 - 1) × π
    -0.049560546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.155699049965942
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36744800} λ = -1.36744800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155699049965942))-π/2
    2×atan(0.855816709686779)-π/2
    2×0.707861285998055-π/2
    1.41572257199611-1.57079632675     		φ = -0.15507375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36744800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.348999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15507375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.885071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37010 KachelY 68784 -1.36744800 -0.15507375 -78.348999 -8.885071
    Oben rechts KachelX + 1 37011 KachelY 68784 -1.36740006 -0.15507375 -78.346252 -8.885071
    Unten links KachelX 37010 KachelY + 1 68785 -1.36744800 -0.15512112 -78.348999 -8.887785
    Unten rechts KachelX + 1 37011 KachelY + 1 68785 -1.36740006 -0.15512112 -78.346252 -8.887785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15507375--0.15512112) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dl = 301.794269999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15507375--0.15512112) × R
    4.7369999999991e-05 × 6371000     		dr = 301.794269999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36744800--1.36740006) × cos(-0.15507375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988000142554999 × 6371000     		do = 301.760674659768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36744800--1.36740006) × cos(-0.15512112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987992825009568 × 6371000     		du = 301.75843969304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15507375)-sin(-0.15512112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988000142554999-0.987992825009568)×R²
    abs(-1.36740006--1.36744800)×7.3175454312624e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.3175454312624e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.3175454312624e-06×40589641000000     		ar = 91069.305290592m²