Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37010 / 30226
↖ ↑ ↗
← N 13.827412°
E 23.302002°		 ← 593.09 m → N 13.827412°
E 23.307495°		 →
↑
593.14 m
↓
↑
593.14 m
↓
N 13.822078°
E 23.302002°		 ← 593.10 m →
351 788 m²		 N 13.822078°
E 23.307495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30226 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564735412597656 y=0.461219787597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564735412597656 × 216)
    floor (0.564735412597656 × 65536)
    floor (37010.5)     		tx = 37010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461219787597656 × 216)
    floor (0.461219787597656 × 65536)
    floor (30226.5)     		ty = 30226
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37010 / 30226 ti = "16/37010/30226"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37010/30226.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37010 ÷ 216
    37010 ÷ 65536     		x = 0.564727783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30226 ÷ 216
    30226 ÷ 65536     		y = 0.461212158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564727783203125 × 2 - 1) × π
    0.12945556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40669666
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461212158203125 × 2 - 1) × π
    0.07757568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.243711197668365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40669666} λ = 0.40669666}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.243711197668365))-π/2
    2×atan(1.27597577249361)-π/2
    2×0.906065098669116-π/2
    1.81213019733823-1.57079632675     		φ = 0.24133387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40669666} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.302002°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24133387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.827412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37010 KachelY 30226 0.40669666 0.24133387 23.302002 13.827412
    Oben rechts KachelX + 1 37011 KachelY 30226 0.40679253 0.24133387 23.307495 13.827412
    Unten links KachelX 37010 KachelY + 1 30227 0.40669666 0.24124077 23.302002 13.822078
    Unten rechts KachelX + 1 37011 KachelY + 1 30227 0.40679253 0.24124077 23.307495 13.822078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24133387-0.24124077) × R
    9.31000000000126e-05 × 6371000     		dl = 593.14010000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24133387-0.24124077) × R
    9.31000000000126e-05 × 6371000     		dr = 593.14010000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40669666-0.40679253) × cos(0.24133387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971020046437147 × 6371000     		do = 593.087168788628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40669666-0.40679253) × cos(0.24124077) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971042292947653 × 6371000     		du = 593.100756685171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24133387)-sin(0.24124077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971020046437147-0.971042292947653)×R²
    abs(0.40679253-0.40669666)×2.22465105060854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.22465105060854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.22465105060854e-05×40589641000000     		ar = 351787.812621287m²