Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37008 / 45200
↖ ↑ ↗
← S 56.218923°
E 23.291016°		 ← 339.61 m → S 56.218923°
E 23.296509°		 →
↑
339.64 m
↓
↑
339.64 m
↓
S 56.221978°
E 23.291016°		 ← 339.58 m →
115 340 m²		 S 56.221978°
E 23.296509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564704895019531 y=0.689704895019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564704895019531 × 216)
    floor (0.564704895019531 × 65536)
    floor (37008.5)     		tx = 37008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689704895019531 × 216)
    floor (0.689704895019531 × 65536)
    floor (45200.5)     		ty = 45200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37008 / 45200 ti = "16/37008/45200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37008/45200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37008 ÷ 216
    37008 ÷ 65536     		x = 0.564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45200 ÷ 216
    45200 ÷ 65536     		y = 0.689697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564697265625 × 2 - 1) × π
    0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689697265625 × 2 - 1) × π
    -0.37939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19190307215308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40650491} λ = 0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19190307215308))-π/2
    2×atan(0.30364285959797)-π/2
    2×0.294795507618545-π/2
    0.58959101523709-1.57079632675     		φ = -0.98120531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98120531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.218923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37008 KachelY 45200 0.40650491 -0.98120531 23.291016 -56.218923
    Oben rechts KachelX + 1 37009 KachelY 45200 0.40660078 -0.98120531 23.296509 -56.218923
    Unten links KachelX 37008 KachelY + 1 45201 0.40650491 -0.98125862 23.291016 -56.221978
    Unten rechts KachelX + 1 37009 KachelY + 1 45201 0.40660078 -0.98125862 23.296509 -56.221978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98120531--0.98125862) × R
    5.33099999999731e-05 × 6371000     		dl = 339.638009999829m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98120531--0.98125862) × R
    5.33099999999731e-05 × 6371000     		dr = 339.638009999829m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40650491-0.40660078) × cos(-0.98120531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556021135609577 × 6371000     		do = 339.610909491834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40650491-0.40660078) × cos(-0.98125862) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.555976825245325 × 6371000     		du = 339.583845263265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98120531)-sin(-0.98125862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556021135609577-0.555976825245325)×R²
    abs(0.40660078-0.40650491)×4.43103642513432e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43103642513432e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43103642513432e-05×40589641000000     		ar = 115340.177480845m²