Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37008 / 28464
↖ ↑ ↗
← N 22.998851°
E 23.291016°		 ← 562.24 m → N 22.998851°
E 23.296509°		 →
↑
562.24 m
↓
↑
562.24 m
↓
N 22.993795°
E 23.291016°		 ← 562.26 m →
316 119 m²		 N 22.993795°
E 23.296509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564704895019531 y=0.434333801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564704895019531 × 216)
    floor (0.564704895019531 × 65536)
    floor (37008.5)     		tx = 37008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434333801269531 × 216)
    floor (0.434333801269531 × 65536)
    floor (28464.5)     		ty = 28464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37008 / 28464 ti = "16/37008/28464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37008/28464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37008 ÷ 216
    37008 ÷ 65536     		x = 0.564697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28464 ÷ 216
    28464 ÷ 65536     		y = 0.434326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564697265625 × 2 - 1) × π
    0.12939453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40650491
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434326171875 × 2 - 1) × π
    0.13134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.412640831929443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40650491} λ = 0.40650491}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412640831929443))-π/2
    2×atan(1.51080229652845)-π/2
    2×0.98610100563969-π/2
    1.97220201127938-1.57079632675     		φ = 0.40140568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40650491} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.291016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40140568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.998851°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37008 KachelY 28464 0.40650491 0.40140568 23.291016 22.998851
    Oben rechts KachelX + 1 37009 KachelY 28464 0.40660078 0.40140568 23.296509 22.998851
    Unten links KachelX 37008 KachelY + 1 28465 0.40650491 0.40131743 23.291016 22.993795
    Unten rechts KachelX + 1 37009 KachelY + 1 28465 0.40660078 0.40131743 23.296509 22.993795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40140568-0.40131743) × R
    8.82500000000119e-05 × 6371000     		dl = 562.240750000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40140568-0.40131743) × R
    8.82500000000119e-05 × 6371000     		dr = 562.240750000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40650491-0.40660078) × cos(0.40140568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.92051268662898 × 6371000     		do = 562.237891122811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40650491-0.40660078) × cos(0.40131743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.920547163437925 × 6371000     		du = 562.258949136064m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40140568)-sin(0.40131743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92051268662898-0.920547163437925)×R²
    abs(0.40660078-0.40650491)×3.44768089453051e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44768089453051e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44768089453051e-05×40589641000000     		ar = 316118.973625208m²