Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37006 / 68794
↖ ↑ ↗
← S  8.912207°
W 78.359986°		 ← 301.74 m → S  8.912207°
W 78.357239°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.914920°
W 78.359986°		 ← 301.74 m →
91 043 m²		 S  8.914920°
W 78.357239°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68794 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282337188720703 y=0.524860382080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282337188720703 × 217)
    floor (0.282337188720703 × 131072)
    floor (37006.5)     		tx = 37006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524860382080078 × 217)
    floor (0.524860382080078 × 131072)
    floor (68794.5)     		ty = 68794
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37006 / 68794 ti = "17/37006/68794"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37006/68794.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37006 ÷ 217
    37006 ÷ 131072     		x = 0.282333374023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68794 ÷ 217
    68794 ÷ 131072     		y = 0.524856567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282333374023438 × 2 - 1) × π
    -0.435333251953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.36763975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524856567382812 × 2 - 1) × π
    -0.049713134765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.156178418962143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36763975} λ = -1.36763975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156178418962143))-π/2
    2×atan(0.855406556005058)-π/2
    2×0.707624486455217-π/2
    1.41524897291043-1.57079632675     		φ = -0.15554735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36763975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.359986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15554735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.912207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37006 KachelY 68794 -1.36763975 -0.15554735 -78.359986 -8.912207
    Oben rechts KachelX + 1 37007 KachelY 68794 -1.36759181 -0.15554735 -78.357239 -8.912207
    Unten links KachelX 37006 KachelY + 1 68795 -1.36763975 -0.15559471 -78.359986 -8.914920
    Unten rechts KachelX + 1 37007 KachelY + 1 68795 -1.36759181 -0.15559471 -78.357239 -8.914920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15554735--0.15559471) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15554735--0.15559471) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36763975--1.36759181) × cos(-0.15554735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987926882830929 × 6371000     		do = 301.738299254332m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36763975--1.36759181) × cos(-0.15559471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987919544670856 × 6371000     		du = 301.736057991361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15554735)-sin(-0.15559471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987926882830929-0.987919544670856)×R²
    abs(-1.36759181--1.36763975)×7.33816007314481e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.33816007314481e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.33816007314481e-06×40589641000000     		ar = 91043.3278957101m²