Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37006 / 30370
↖ ↑ ↗
← N 13.058075°
E 23.280029°		 ← 594.99 m → N 13.058075°
E 23.285522°		 →
↑
595.05 m
↓
↑
595.05 m
↓
N 13.052723°
E 23.280029°		 ← 595.01 m →
354 056 m²		 N 13.052723°
E 23.285522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564674377441406 y=0.463417053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564674377441406 × 216)
    floor (0.564674377441406 × 65536)
    floor (37006.5)     		tx = 37006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463417053222656 × 216)
    floor (0.463417053222656 × 65536)
    floor (30370.5)     		ty = 30370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37006 / 30370 ti = "16/37006/30370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37006/30370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37006 ÷ 216
    37006 ÷ 65536     		x = 0.564666748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30370 ÷ 216
    30370 ÷ 65536     		y = 0.463409423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564666748046875 × 2 - 1) × π
    0.12933349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40631316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463409423828125 × 2 - 1) × π
    0.07318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.229905370577789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40631316} λ = 0.40631316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.229905370577789))-π/2
    2×atan(1.25848091497278)-π/2
    2×0.899351362377248-π/2
    1.7987027247545-1.57079632675     		φ = 0.22790640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40631316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.280029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22790640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.058075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37006 KachelY 30370 0.40631316 0.22790640 23.280029 13.058075
    Oben rechts KachelX + 1 37007 KachelY 30370 0.40640903 0.22790640 23.285522 13.058075
    Unten links KachelX 37006 KachelY + 1 30371 0.40631316 0.22781300 23.280029 13.052723
    Unten rechts KachelX + 1 37007 KachelY + 1 30371 0.40640903 0.22781300 23.285522 13.052723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22790640-0.22781300) × R
    9.34000000000212e-05 × 6371000     		dl = 595.051400000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22790640-0.22781300) × R
    9.34000000000212e-05 × 6371000     		dr = 595.051400000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40631316-0.40640903) × cos(0.22790640) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.974141554532486 × 6371000     		do = 594.993747757218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40631316-0.40640903) × cos(0.22781300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.974162652944728 × 6371000     		du = 595.006634409382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22790640)-sin(0.22781300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.974141554532486-0.974162652944728)×R²
    abs(0.40640903-0.40631316)×2.1098412242071e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1098412242071e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1098412242071e-05×40589641000000     		ar = 354055.696961913m²