Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37004 / 45180
↖ ↑ ↗
← S 56.157788°
E 23.269043°		 ← 340.19 m → S 56.157788°
E 23.274536°		 →
↑
340.21 m
↓
↑
340.21 m
↓
S 56.160848°
E 23.269043°		 ← 340.16 m →
115 731 m²		 S 56.160848°
E 23.274536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564643859863281 y=0.689399719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564643859863281 × 216)
    floor (0.564643859863281 × 65536)
    floor (37004.5)     		tx = 37004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689399719238281 × 216)
    floor (0.689399719238281 × 65536)
    floor (45180.5)     		ty = 45180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37004 / 45180 ti = "16/37004/45180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37004/45180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37004 ÷ 216
    37004 ÷ 65536     		x = 0.56463623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45180 ÷ 216
    45180 ÷ 65536     		y = 0.68939208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56463623046875 × 2 - 1) × π
    0.1292724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40612141
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.68939208984375 × 2 - 1) × π
    -0.3787841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.18998559616827
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40612141} λ = 0.40612141}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18998559616827))-π/2
    2×atan(0.304225646050158)-π/2
    2×0.295329011124818-π/2
    0.590658022249637-1.57079632675     		φ = -0.98013830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40612141} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.269043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98013830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.157788°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37004 KachelY 45180 0.40612141 -0.98013830 23.269043 -56.157788
    Oben rechts KachelX + 1 37005 KachelY 45180 0.40621729 -0.98013830 23.274536 -56.157788
    Unten links KachelX 37004 KachelY + 1 45181 0.40612141 -0.98019170 23.269043 -56.160848
    Unten rechts KachelX + 1 37005 KachelY + 1 45181 0.40621729 -0.98019170 23.274536 -56.160848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98013830--0.98019170) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dl = 340.21139999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98013830--0.98019170) × R
    5.33999999999812e-05 × 6371000     		dr = 340.21139999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40612141-0.40621729) × cos(-0.98013830) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.55690768365319 × 6371000     		do = 340.187882782897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40612141-0.40621729) × cos(-0.98019170) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.556863330186289 × 6371000     		du = 340.160789401997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98013830)-sin(-0.98019170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.55690768365319-0.556863330186289)×R²
    abs(0.40621729-0.40612141)×4.43534669009038e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43534669009038e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43534669009038e-05×40589641000000     		ar = 115731.187153281m²