Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37003 / 68805
↖ ↑ ↗
← S  8.942053°
W 78.368225°		 ← 301.71 m → S  8.942053°
W 78.365479°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.944767°
W 78.368225°		 ← 301.71 m →
91 036 m²		 S  8.944767°
W 78.365479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282314300537109 y=0.524944305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282314300537109 × 217)
    floor (0.282314300537109 × 131072)
    floor (37003.5)     		tx = 37003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524944305419922 × 217)
    floor (0.524944305419922 × 131072)
    floor (68805.5)     		ty = 68805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37003 / 68805 ti = "17/37003/68805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37003/68805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37003 ÷ 217
    37003 ÷ 131072     		x = 0.282310485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68805 ÷ 217
    68805 ÷ 131072     		y = 0.524940490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282310485839844 × 2 - 1) × π
    -0.435379028320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.36778356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524940490722656 × 2 - 1) × π
    -0.0498809814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.156705724857964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36778356} λ = -1.36778356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156705724857964))-π/2
    2×atan(0.854955613987394)-π/2
    2×0.707364027270868-π/2
    1.41472805454174-1.57079632675     		φ = -0.15606827
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36778356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.368225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15606827 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.942053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37003 KachelY 68805 -1.36778356 -0.15606827 -78.368225 -8.942053
    Oben rechts KachelX + 1 37004 KachelY 68805 -1.36773562 -0.15606827 -78.365479 -8.942053
    Unten links KachelX 37003 KachelY + 1 68806 -1.36778356 -0.15611563 -78.368225 -8.944767
    Unten rechts KachelX + 1 37004 KachelY + 1 68806 -1.36773562 -0.15611563 -78.365479 -8.944767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15606827--0.15611563) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15606827--0.15611563) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36778356--1.36773562) × cos(-0.15606827) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.98784604741722 × 6371000     		do = 301.713610038282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36778356--1.36773562) × cos(-0.15611563) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.987838684885316 × 6371000     		du = 301.711361331527m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15606827)-sin(-0.15611563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98784604741722-0.987838684885316)×R²
    abs(-1.36773562--1.36778356)×7.36253190392056e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.36253190392056e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.36253190392056e-06×40589641000000     		ar = 91035.877281694m²