Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37003 / 68783
↖ ↑ ↗
← S  8.882358°
W 78.368225°		 ← 301.76 m → S  8.882358°
W 78.365479°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.885071°
W 78.368225°		 ← 301.76 m →
91 051 m²		 S  8.885071°
W 78.365479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282314300537109 y=0.524776458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282314300537109 × 217)
    floor (0.282314300537109 × 131072)
    floor (37003.5)     		tx = 37003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524776458740234 × 217)
    floor (0.524776458740234 × 131072)
    floor (68783.5)     		ty = 68783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37003 / 68783 ti = "17/37003/68783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37003/68783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37003 ÷ 217
    37003 ÷ 131072     		x = 0.282310485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68783 ÷ 217
    68783 ÷ 131072     		y = 0.524772644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.282310485839844 × 2 - 1) × π
    -0.435379028320312 × 3.1415926535     		Λ = -1.36778356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524772644042969 × 2 - 1) × π
    -0.0495452880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.155651113066322
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36778356} λ = -1.36778356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.155651113066322))-π/2
    2×atan(0.85585773586981)-π/2
    2×0.707884966917524-π/2
    1.41576993383505-1.57079632675     		φ = -0.15502639
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36778356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.368225°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15502639 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.882358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37003 KachelY 68783 -1.36778356 -0.15502639 -78.368225 -8.882358
    Oben rechts KachelX + 1 37004 KachelY 68783 -1.36773562 -0.15502639 -78.365479 -8.882358
    Unten links KachelX 37003 KachelY + 1 68784 -1.36778356 -0.15507375 -78.368225 -8.885071
    Unten rechts KachelX + 1 37004 KachelY + 1 68784 -1.36773562 -0.15507375 -78.365479 -8.885071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15502639--0.15507375) × R
    4.7360000000024e-05 × 6371000     		dl = 301.730560000153m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15502639--0.15507375) × R
    4.7360000000024e-05 × 6371000     		dr = 301.730560000153m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36778356--1.36773562) × cos(-0.15502639) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988007456339379 × 6371000     		do = 301.762908477775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36778356--1.36773562) × cos(-0.15507375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988000142554999 × 6371000     		du = 301.760674659768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15502639)-sin(-0.15507375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988007456339379-0.988000142554999)×R²
    abs(-1.36773562--1.36778356)×7.31378437934804e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.31378437934804e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.31378437934804e-06×40589641000000     		ar = 91050.7543737379m²