Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37003 / 45179
↖ ↑ ↗
← S 56.154729°
E 23.263550°		 ← 340.18 m → S 56.154729°
E 23.269043°		 →
↑
340.15 m
↓
↑
340.15 m
↓
S 56.157788°
E 23.263550°		 ← 340.15 m →
115 707 m²		 S 56.157788°
E 23.269043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564628601074219 y=0.689384460449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564628601074219 × 216)
    floor (0.564628601074219 × 65536)
    floor (37003.5)     		tx = 37003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689384460449219 × 216)
    floor (0.689384460449219 × 65536)
    floor (45179.5)     		ty = 45179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37003 / 45179 ti = "16/37003/45179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37003/45179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37003 ÷ 216
    37003 ÷ 65536     		x = 0.564620971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45179 ÷ 216
    45179 ÷ 65536     		y = 0.689376831054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564620971679688 × 2 - 1) × π
    0.129241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40602554
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689376831054688 × 2 - 1) × π
    -0.378753662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.18988972236903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40602554} λ = 0.40602554}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18988972236903))-π/2
    2×atan(0.304254814716904)-π/2
    2×0.295355708615304-π/2
    0.590711417230609-1.57079632675     		φ = -0.98008491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40602554} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.263550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98008491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.154729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37003 KachelY 45179 0.40602554 -0.98008491 23.263550 -56.154729
    Oben rechts KachelX + 1 37004 KachelY 45179 0.40612141 -0.98008491 23.269043 -56.154729
    Unten links KachelX 37003 KachelY + 1 45180 0.40602554 -0.98013830 23.263550 -56.157788
    Unten rechts KachelX + 1 37004 KachelY + 1 45180 0.40612141 -0.98013830 23.269043 -56.157788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98008491--0.98013830) × R
    5.3390000000042e-05 × 6371000     		dl = 340.147690000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98008491--0.98013830) × R
    5.3390000000042e-05 × 6371000     		dr = 340.147690000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40602554-0.40612141) × cos(-0.98008491) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.556952027226589 × 6371000     		do = 340.1794867067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40602554-0.40612141) × cos(-0.98013830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.55690768365319 × 6371000     		du = 340.15240219439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98008491)-sin(-0.98013830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556952027226589-0.55690768365319)×R²
    abs(0.40612141-0.40602554)×4.43435733987751e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.43435733987751e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.43435733987751e-05×40589641000000     		ar = 115706.660249431m²