Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37002 / 45303
↖ ↑ ↗
← S 56.532228°
E 23.258057°		 ← 336.83 m → S 56.532228°
E 23.263550°		 →
↑
336.83 m
↓
↑
336.83 m
↓
S 56.535258°
E 23.258057°		 ← 336.80 m →
113 451 m²		 S 56.535258°
E 23.263550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564613342285156 y=0.691276550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564613342285156 × 216)
    floor (0.564613342285156 × 65536)
    floor (37002.5)     		tx = 37002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.691276550292969 × 216)
    floor (0.691276550292969 × 65536)
    floor (45303.5)     		ty = 45303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37002 / 45303 ti = "16/37002/45303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37002/45303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37002 ÷ 216
    37002 ÷ 65536     		x = 0.564605712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45303 ÷ 216
    45303 ÷ 65536     		y = 0.691268920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564605712890625 × 2 - 1) × π
    0.12921142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40592967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.691268920898438 × 2 - 1) × π
    -0.382537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.20177807347481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40592967} λ = 0.40592967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.20177807347481))-π/2
    2×atan(0.300659142310739)-π/2
    2×0.292061402435313-π/2
    0.584122804870626-1.57079632675     		φ = -0.98667352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40592967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.258057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98667352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.532228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37002 KachelY 45303 0.40592967 -0.98667352 23.258057 -56.532228
    Oben rechts KachelX + 1 37003 KachelY 45303 0.40602554 -0.98667352 23.263550 -56.532228
    Unten links KachelX 37002 KachelY + 1 45304 0.40592967 -0.98672639 23.258057 -56.535258
    Unten rechts KachelX + 1 37003 KachelY + 1 45304 0.40602554 -0.98672639 23.263550 -56.535258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98667352--0.98672639) × R
    5.28699999999827e-05 × 6371000     		dl = 336.834769999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98667352--0.98672639) × R
    5.28699999999827e-05 × 6371000     		dr = 336.834769999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40592967-0.40602554) × cos(-0.98667352) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551467843397422 × 6371000     		do = 336.829814295414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40592967-0.40602554) × cos(-0.98672639) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.551423738676219 × 6371000     		du = 336.802875671103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98667352)-sin(-0.98672639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551467843397422-0.551423738676219)×R²
    abs(0.40602554-0.40592967)×4.41047212039747e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.41047212039747e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.41047212039747e-05×40589641000000     		ar = 113451.456121173m²