Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37001 / 45193
↖ ↑ ↗
← S 56.197537°
E 23.252563°		 ← 339.84 m → S 56.197537°
E 23.258057°		 →
↑
339.83 m
↓
↑
339.83 m
↓
S 56.200593°
E 23.252563°		 ← 339.81 m →
115 482 m²		 S 56.200593°
E 23.258057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564598083496094 y=0.689598083496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564598083496094 × 216)
    floor (0.564598083496094 × 65536)
    floor (37001.5)     		tx = 37001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689598083496094 × 216)
    floor (0.689598083496094 × 65536)
    floor (45193.5)     		ty = 45193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37001 / 45193 ti = "16/37001/45193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37001/45193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37001 ÷ 216
    37001 ÷ 65536     		x = 0.564590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45193 ÷ 216
    45193 ÷ 65536     		y = 0.689590454101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564590454101562 × 2 - 1) × π
    0.129180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40583379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689590454101562 × 2 - 1) × π
    -0.379180908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.1912319555584
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40583379} λ = 0.40583379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1912319555584))-π/2
    2×atan(0.303846707755192)-π/2
    2×0.294982137166473-π/2
    0.589964274332946-1.57079632675     		φ = -0.98083205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40583379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.252563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98083205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.197537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37001 KachelY 45193 0.40583379 -0.98083205 23.252563 -56.197537
    Oben rechts KachelX + 1 37002 KachelY 45193 0.40592967 -0.98083205 23.258057 -56.197537
    Unten links KachelX 37001 KachelY + 1 45194 0.40583379 -0.98088539 23.252563 -56.200593
    Unten rechts KachelX + 1 37002 KachelY + 1 45194 0.40592967 -0.98088539 23.258057 -56.200593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98083205--0.98088539) × R
    5.33400000000128e-05 × 6371000     		dl = 339.829140000082m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98083205--0.98088539) × R
    5.33400000000128e-05 × 6371000     		dr = 339.829140000082m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40583379-0.40592967) × cos(-0.98083205) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.556331338693483 × 6371000     		do = 339.835821611269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40583379-0.40592967) × cos(-0.98088539) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.556287014466152 × 6371000     		du = 339.808746091404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98083205)-sin(-0.98088539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.556331338693483-0.556287014466152)×R²
    abs(0.40592967-0.40583379)×4.43242273309163e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.43242273309163e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.43242273309163e-05×40589641000000     		ar = 115481.51450165m²