Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37001 / 28462
↖ ↑ ↗
← N 23.008964°
E 23.252563°		 ← 562.25 m → N 23.008964°
E 23.258057°		 →
↑
562.18 m
↓
↑
562.18 m
↓
N 23.003908°
E 23.252563°		 ← 562.28 m →
316 092 m²		 N 23.003908°
E 23.258057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564598083496094 y=0.434303283691406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564598083496094 × 216)
    floor (0.564598083496094 × 65536)
    floor (37001.5)     		tx = 37001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434303283691406 × 216)
    floor (0.434303283691406 × 65536)
    floor (28462.5)     		ty = 28462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37001 / 28462 ti = "16/37001/28462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37001/28462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37001 ÷ 216
    37001 ÷ 65536     		x = 0.564590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28462 ÷ 216
    28462 ÷ 65536     		y = 0.434295654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564590454101562 × 2 - 1) × π
    0.129180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40583379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434295654296875 × 2 - 1) × π
    0.13140869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.412832579527924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40583379} λ = 0.40583379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412832579527924))-π/2
    2×atan(1.51109201701631)-π/2
    2×0.986189255381782-π/2
    1.97237851076356-1.57079632675     		φ = 0.40158218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40583379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.252563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40158218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.008964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37001 KachelY 28462 0.40583379 0.40158218 23.252563 23.008964
    Oben rechts KachelX + 1 37002 KachelY 28462 0.40592967 0.40158218 23.258057 23.008964
    Unten links KachelX 37001 KachelY + 1 28463 0.40583379 0.40149394 23.252563 23.003908
    Unten rechts KachelX + 1 37002 KachelY + 1 28463 0.40592967 0.40149394 23.258057 23.003908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40158218-0.40149394) × R
    8.82400000000172e-05 × 6371000     		dl = 562.17704000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40158218-0.40149394) × R
    8.82400000000172e-05 × 6371000     		dr = 562.17704000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40583379-0.40592967) × cos(0.40158218) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.920443711504327 × 6371000     		do = 562.254403429068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40583379-0.40592967) × cos(0.40149394) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.920478198743085 × 6371000     		du = 562.275470009905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40158218)-sin(0.40149394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920443711504327-0.920478198743085)×R²
    abs(0.40592967-0.40583379)×3.44872387583184e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.44872387583184e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.44872387583184e-05×40589641000000     		ar = 316092.438025893m²