Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37001 / 28377
↖ ↑ ↗
← N 23.438049°
E 23.252563°		 ← 560.45 m → N 23.438049°
E 23.258057°		 →
↑
560.46 m
↓
↑
560.46 m
↓
N 23.433009°
E 23.252563°		 ← 560.47 m →
314 114 m²		 N 23.433009°
E 23.258057°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564598083496094 y=0.433006286621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564598083496094 × 216)
    floor (0.564598083496094 × 65536)
    floor (37001.5)     		tx = 37001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433006286621094 × 216)
    floor (0.433006286621094 × 65536)
    floor (28377.5)     		ty = 28377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37001 / 28377 ti = "16/37001/28377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37001/28377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37001 ÷ 216
    37001 ÷ 65536     		x = 0.564590454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28377 ÷ 216
    28377 ÷ 65536     		y = 0.432998657226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564590454101562 × 2 - 1) × π
    0.129180908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40583379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432998657226562 × 2 - 1) × π
    0.134002685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.420981852463333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40583379} λ = 0.40583379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.420981852463333))-π/2
    2×atan(1.52345663117282)-π/2
    2×0.989933726914692-π/2
    1.97986745382938-1.57079632675     		φ = 0.40907113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40583379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.252563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40907113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.438049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37001 KachelY 28377 0.40583379 0.40907113 23.252563 23.438049
    Oben rechts KachelX + 1 37002 KachelY 28377 0.40592967 0.40907113 23.258057 23.438049
    Unten links KachelX 37001 KachelY + 1 28378 0.40583379 0.40898316 23.252563 23.433009
    Unten rechts KachelX + 1 37002 KachelY + 1 28378 0.40592967 0.40898316 23.258057 23.433009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40907113-0.40898316) × R
    8.79699999999928e-05 × 6371000     		dl = 560.456869999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40907113-0.40898316) × R
    8.79699999999928e-05 × 6371000     		dr = 560.456869999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40583379-0.40592967) × cos(0.40907113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.917490683364192 × 6371000     		do = 560.450541819185m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40583379-0.40592967) × cos(0.40898316) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.917525670521098 × 6371000     		du = 560.471913775762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40907113)-sin(0.40898316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917490683364192-0.917525670521098)×R²
    abs(0.40592967-0.40583379)×3.49871569059745e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.49871569059745e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.49871569059745e-05×40589641000000     		ar = 314114.345690279m²