Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37000 / 68808
↖ ↑ ↗
← S  8.950193°
W 78.376465°		 ← 301.71 m → S  8.950193°
W 78.373718°		 →
↑
301.73 m
↓
↑
301.73 m
↓
S  8.952906°
W 78.376465°		 ← 301.70 m →
91 034 m²		 S  8.952906°
W 78.373718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.282291412353516 y=0.524967193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.282291412353516 × 217)
    floor (0.282291412353516 × 131072)
    floor (37000.5)     		tx = 37000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524967193603516 × 217)
    floor (0.524967193603516 × 131072)
    floor (68808.5)     		ty = 68808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37000 / 68808 ti = "17/37000/68808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37000/68808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37000 ÷ 217
    37000 ÷ 131072     		x = 0.28228759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68808 ÷ 217
    68808 ÷ 131072     		y = 0.52496337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.28228759765625 × 2 - 1) × π
    -0.4354248046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36792737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.52496337890625 × 2 - 1) × π
    -0.0499267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.156849535556824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36792737} λ = -1.36792737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.156849535556824))-π/2
    2×atan(0.854832671063518)-π/2
    2×0.707292996649796-π/2
    1.41458599329959-1.57079632675     		φ = -0.15621033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36792737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.376465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15621033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.950193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37000 KachelY 68808 -1.36792737 -0.15621033 -78.376465 -8.950193
    Oben rechts KachelX + 1 37001 KachelY 68808 -1.36787943 -0.15621033 -78.373718 -8.950193
    Unten links KachelX 37000 KachelY + 1 68809 -1.36792737 -0.15625769 -78.376465 -8.952906
    Unten rechts KachelX + 1 37001 KachelY + 1 68809 -1.36787943 -0.15625769 -78.373718 -8.952906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15621033--0.15625769) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dl = 301.730559999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15621033--0.15625769) × R
    4.73599999999963e-05 × 6371000     		dr = 301.730559999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36792737--1.36787943) × cos(-0.15621033) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.987823956285965 × 6371000     		do = 301.706862839568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36792737--1.36787943) × cos(-0.15625769) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.98781658710797 × 6371000     		du = 301.704612102926m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15621033)-sin(-0.15625769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.987823956285965-0.98781658710797)×R²
    abs(-1.36787943--1.36792737)×7.36917799515346e-06×R²
    4.79400000001906e-05×7.36917799515346e-06×6371000²
    4.79400000001906e-05×7.36917799515346e-06×40589641000000     		ar = 91033.8411393982m²