Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37000 / 45210
↖ ↑ ↗
← S 56.249454°
E 23.247070°		 ← 339.34 m → S 56.249454°
E 23.252563°		 →
↑
339.32 m
↓
↑
339.32 m
↓
S 56.252506°
E 23.247070°		 ← 339.31 m →
115 140 m²		 S 56.252506°
E 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564582824707031 y=0.689857482910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564582824707031 × 216)
    floor (0.564582824707031 × 65536)
    floor (37000.5)     		tx = 37000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689857482910156 × 216)
    floor (0.689857482910156 × 65536)
    floor (45210.5)     		ty = 45210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37000 / 45210 ti = "16/37000/45210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37000/45210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37000 ÷ 216
    37000 ÷ 65536     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45210 ÷ 216
    45210 ÷ 65536     		y = 0.689849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.37969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.19286181014548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19286181014548))-π/2
    2×atan(0.303351885158765)-π/2
    2×0.294529074508845-π/2
    0.589058149017689-1.57079632675     		φ = -0.98173818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98173818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.249454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37000 KachelY 45210 0.40573792 -0.98173818 23.247070 -56.249454
    Oben rechts KachelX + 1 37001 KachelY 45210 0.40583379 -0.98173818 23.252563 -56.249454
    Unten links KachelX 37000 KachelY + 1 45211 0.40573792 -0.98179144 23.247070 -56.252506
    Unten rechts KachelX + 1 37001 KachelY + 1 45211 0.40583379 -0.98179144 23.252563 -56.252506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98173818--0.98179144) × R
    5.32599999999439e-05 × 6371000     		dl = 339.319459999643m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98173818--0.98179144) × R
    5.32599999999439e-05 × 6371000     		dr = 339.319459999643m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40583379) × cos(-0.98173818) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.555578152116207 × 6371000     		do = 339.340340591968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40583379) × cos(-0.98179144) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.555533867538514 × 6371000     		du = 339.313292113513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98173818)-sin(-0.98179144))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555578152116207-0.555533867538514)×R²
    abs(0.40583379-0.40573792)×4.42845776931211e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.42845776931211e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.42845776931211e-05×40589641000000     		ar = 115140.192115789m²