Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37000 / 30584
↖ ↑ ↗
← N 11.910353°
E 23.247070°		 ← 597.64 m → N 11.910353°
E 23.252563°		 →
↑
597.66 m
↓
↑
597.66 m
↓
N 11.904978°
E 23.247070°		 ← 597.65 m →
357 190 m²		 N 11.904978°
E 23.252563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564582824707031 y=0.466682434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564582824707031 × 216)
    floor (0.564582824707031 × 65536)
    floor (37000.5)     		tx = 37000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466682434082031 × 216)
    floor (0.466682434082031 × 65536)
    floor (30584.5)     		ty = 30584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37000 / 30584 ti = "16/37000/30584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37000/30584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37000 ÷ 216
    37000 ÷ 65536     		x = 0.5645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30584 ÷ 216
    30584 ÷ 65536     		y = 0.4666748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5645751953125 × 2 - 1) × π
    0.129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40573792
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4666748046875 × 2 - 1) × π
    0.066650390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.209388377540405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40573792} λ = 0.40573792}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209388377540405))-π/2
    2×atan(1.23292374544873)-π/2
    2×0.889335605706956-π/2
    1.77867121141391-1.57079632675     		φ = 0.20787488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40573792} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.247070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20787488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.910353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37000 KachelY 30584 0.40573792 0.20787488 23.247070 11.910353
    Oben rechts KachelX + 1 37001 KachelY 30584 0.40583379 0.20787488 23.252563 11.910353
    Unten links KachelX 37000 KachelY + 1 30585 0.40573792 0.20778107 23.247070 11.904978
    Unten rechts KachelX + 1 37001 KachelY + 1 30585 0.40583379 0.20778107 23.252563 11.904978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20787488-0.20778107) × R
    9.38099999999997e-05 × 6371000     		dl = 597.663509999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20787488-0.20778107) × R
    9.38099999999997e-05 × 6371000     		dr = 597.663509999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40573792-0.40583379) × cos(0.20787488) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.978471708234068 × 6371000     		do = 597.63855268071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40573792-0.40583379) × cos(0.20778107) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.978491064529998 × 6371000     		du = 597.650375269536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20787488)-sin(0.20778107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978471708234068-0.978491064529998)×R²
    abs(0.40583379-0.40573792)×1.93562959297511e-05×R²
    9.58700000000534e-05×1.93562959297511e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×1.93562959297511e-05×40589641000000     		ar = 357190.288333385m²